Halaman
109MATEMATIKAHimpunanBab 2Ketika kalian pergi ke pasar, kalian akan menjumpai berbagai dagangan yang dijual dengan jenis yang sama dikelompokkan di tempat yang sama. Misalnya ada kelompok pedagang sayur- sayuran, ada kelompok pedagang buah-buahan, ada kelompok pedagang ikan, ada kelompok pedagang bumbu, dan kelompok lainnya. Jika kalian ingin membeli kacang panjang, buncis, bayam, dan kecambah, pergilah ke daerah kelompok pedagang sayur-sayuran. Jika kalian ingin membeli nanas, jeruk, apel, dan mangga, pergilah ke daerah kelompok pedagang buah-buahan. Jika kalian ingin membeli tongkol, gurami, lele, dan mujair, pergilah ke daerah kelompok pedagang ikan. Jika kalian ingin membeli bawang merah, garam, kemiri, dan bawang putih, pergilah ke daerah pedagang bumbu dapur. Jika kalian cermati, kelompok-kelompok tersebut merupakan contoh dari himpunan dalam kehidupan sehari-hari.Sumber: kompasiana.comPasar Tradisional
110Kelas VII SMP/MTsSemester 11.Menyatakan masalah sehari-hari dalam bentuk himpunan dan mendata anggotanya;2.Menyebutkan anggota dan bukan anggota himpunan;3.Mengetahui macam-macam himpunan;4.Memahami relasi himpunan dan operasi himpunanPB engalamanelajar• Himpunan Bagian• Komplemen himpunan• Operasi himpunan K ata Kunci3.4Menjelaskan himpunan, himpunan bagian, himpunan semesta, himpunan kosong, komplemen himpunan, dan melakukan operasi biner pada himpunan menggunakan masalah Kontekstual4.4Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan himpunan, himpunan bagian, himpunan semesta, himpunan kosong, komplemen himpunan dan operasi biner pada himpunanKD ompetensiasar
111PK etaonsepHimpunanRelasi HimpunanHimpunan BagianHimpunan KuasaKesamaan Dua HimpunanSifat-sifat Operasi HimpunanOperasi HimpunanIrisanGabunganSelisihKonsep HimpunanPenyajian HimpunanHimpunan SemestaKardinalitas Himpunan
112Georg Cantor (1845 -1918) adalah ahli matematika Jerman, penemu teori himpunan, penemu konsep bilangan lewat terhingga (transfinit), doktor, guru besar, dan pengarang. Ia lahir di St Patersburg sekarang Leningrad Rusia, pada tanggal 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman, pada tanggal 6 Januari 1918 pada umur 73 tahun karena sakit jiwa, sebab teorinya ditentang para ahli matematika sezamannya. Pada umur 22 tahun ia mendapat gelar doktor. Tesisnya berjudul “Dalam matematika, bertanya lebih berharga dari memecahkan soal”. Kemudian ia bekerja di Universitas Halle sampai akhir hidupnya. Mula-mula ia hanya digaji sebagai dosen tak tetap. Pada umur 27 tahun ia diangkat jadi guru besar pembantu. Baru pada umur 34 tahun ia diangkat jadi guru besar tetap. Cantor menikah pada umur 29 tahun di Interlaken, Swiss, dengan Valley Guttman. Meskipun gajinya kecil, ia dapat membangun rumah untuk istri karena mendapat warisan dari ayahnya.Pada tahun 1873 pada umur 28 tahun, Cantor mengumumkan teorinya. Selama 10 tahun ia terus-menerus menyebarluaskan teorinya dalam tulisan-tulisannya. TeorihimpunandanKonsepBilanganTransfinit-nya menggemparkan dunia matematika. Tapi penemuannya itu tidak menguntungkan Cantor. Ia mendapat tantangan hebat dari ahli-ahli matematika pada waktu itu, terutama dari gurunya, ialah Kronecker. Akan tetapi penemuan beliau sampai sekarang hampir seluruh orang di dunia menerima Teori Himpunan.Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik sebagai berikut:1.Barang siapa yang bersungguh-sungguh untuk mencapai apa yang diinginkan, maka ia akan mendapatkan apa yang diinginkan.2.Salah satu ciri orang yang cerdas dan kreatif adalah selalu mempertanyakan segala sesuatu yang ada di sekitarnya. Misalnya, mengapa ada kelompok-kelompok hewan? Mengapa ada kelompok tumbuhan? Mengapa ada pembagian wilayah waktu? Mengapa ada ikan yang hidupnya di laut dan di air tawar ? Mengapa ada pengelompokan kelas di sekolah? Dan lain-lain.3.Kita harus selalu bersyukur atas semua nikmat apapun yang diberikan Allah kepada kita. Nikmat hidup, nikmat dapat melihat, nikmat dapat mendengar, nikmat rez ki, dan masih banyak lagi yang lainnya. 4.Hidup di dunia ini memang untuk memecahkan masalah dan hambatan. Setiap manusia pastilah mempunyai masalah yang membuat hidupnya kadangkala senang dan kadangkala susah. Jika Seseorang mampu melewati dan memecahkan masalah dan hambatan yang dihadapinya dengan baik dan sabar, maka ia termasuk orang yang mensyukuri nikmat Allah. Georg Cantor (1845 -1918 M) Sumber:wikimedia.org/wikipediae
113MATEMATIKAKonsep HimpunanegiatanK 2.1HimpunanKonsep HimpunanDi dalam kehidupan sehari-hari, kata himpunan ini dipadankan dengan kumpulan, kelompok, grup, atau gerombolan. Dalam biologi misalnya, kita mengenal kelompok flora dan kelompok fauna. Di dalamnya, masih ada lagi kelompok vertebrata, kelompok invertebrata, kelompok dikotil, dan kelompok monokotil. Dalam kehidupan sehari-hari, kalian juga mengenal suku Jawa, suku Madura, suku Sasak, suku Dayak, suku Batak, dan lain-lain. Semua itu merupakan kelompok. Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gerombolan dalam matematika dikenal dengan istilah himpunan. Namun, tidak semua kumpulan termasuk himpunan. Contohnya kumpulan siswa yang pandai, kumpulan siswa yang berbadan tinggi. Mengapa demikian? Untuk menemukan jawabannya coba lakukan kegiatan berikut iniAyoKita AmatiCoba amati beberapa kumpulan yang termasuk himpunan dan bukan himpunan di bawah iniKumpulan yang termasuk himpunan 1.Kumpulan siswa yang lahir pada bulan Agustus 2.Kumpulan siswa laki-laki3.Kumpulan buah-buahan yang diawali dengan huruf M4.Kumpulan nama kota di Indonesia yang diawali dengan huruf S5.Kumpulan binatang yang berkaki dua6.Kumpulan negara di Asia Tenggara
114Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo KitaMenanya??Setelah kalian mengamati kumpulan yang termasuk himpunan dan bukan himpunan di atas, tentu timbul pertanyaan dalam diri kalian. Coba ungkapkan pertanyaan tersebut, misalnya mengapa kumpulan siswa yang cerdas bukan termasuk himpunan?Ayo KitaMenalar1.Coba pikirkan mengapa kumpulan kota yang diawali dengan huruf Stermasuk himpunan, sedangkan kumpulan kota besar bukan termasuk himpunan?2.Apa perbedaan kumpulan yang merupakan himpunan dan kumpulan yang bukan himpunan?3.Coba tulis 3 contoh kumpulan yang termasuk himpunan dan 3 contoh kumpulan yang bukan termasuk himpunan. Berikan alasan masing-masingAyo KitaBerbagiTukarkan jawaban kalian dengan teman sebangku dan periksalah contoh dan bukan contoh himpunan yang dibuat teman sebangkumu, serta diskusikan jika ada perbedaan pendapat.Kumpulan yang termasuk bukan himpunan 1.Kumpulan kota-kota besar di Indonesia2.Kumpulan orang kaya di Indonesia 3.Kumpulan siswa yang pandai di sekolahmu4.Kumpulan gunung yang tinggi di Indonesia5.Kumpulan pelajaran yang disenangi siswa 6.Kumpulan makanan yang lezat
115MATEMATIKAAyoKita AmatiCoba amati contoh himpunan berikut.1.Himpunan sayur-sayuran, anggotanya kacang panjang, buncis, bayam, dan kecambah.2.Himpunan buah-buahan, anggotanya nanas, jeruk, apel, dan mangga.3.Himpunan ikan, anggotanya tongkol, gurami, lele, dan mujair.4.Himpunan bumbu dapur, anggotanya bawang merah, garam, kemiri, dan bawang putih.Berdasarkan dari himpunan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. 1.Anggota dari himpunan sayur-sayuran adalah kacang panjang, buncis, bayam, kecambah.2.Anggota dari himpunan buah-buahan adalah nanas, jeruk, apel, mangga.3.Tongkol bukan anggota dari himpunan bumbu dapur.4.Mangga bukan anggota dari himpunan ikan.Ayo KitaMenanya??Kalian tadi sudah mengamati anggota dan bukan anggota dari suatu himpunan, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan anggota dan bukan anggota dari suatu himpunan. Contoh : Sebutkan anggota himpunan ikan?Ayo KitaMenalarUntuk memperjelas konsep tentang anggota dan bukan anggota dari himpunan, coba nalarkan pikiran kalian dalam kegiatan berikut ini.1.Mangga adalah anggota dari himpunan Buah-buahan, dapat dikatakan mangga adalah elemen dari himpunan buah-buahan dan dilambangkan dengan mangga ∈ Buah-buahan2.Tongkol bukan anggota dari himpunan bumbu dapur, dapat dikatakan tongkol bukan elemen dari himpunan bumbu dapur dan dilambangkan dengan tongkol ∉ Bumbu dapur.
116Kelas VII SMP/MTsSemester 11.Di antara kumpulan berikut ini, manakah yang termasuk himpunan dan yang bukan termasuk himpunan, berikan alasan kalian.a.Kumpulan bintang yang berkaki duab.Kumpulan siswa yang cerdasc.Kumpulan buku yang tebald.Kumpulan siswa yang tingginya diatas 160 cme.Kumpulan lukisan yang indah 2.Nyatakan pernyataan berikut ini benar atau salah. a.Kucing ∈ himpunan binatangb.1 ∉ himpunan bilangan asli c.−4 ∈ himpunan bilangan cacahd.12∉ himpunan bilangan bulat3.Tulislah 3 kelompok yang merupakan himpunan dan 3 kelompok yang bukan merupakan himpunan4.Tulislah anggota dari himpunan berikuta.Himpunan kendaraan roda empatb.Himpunan warna lampu lau lintasc.Himpunan bilangan asli kurang dari 10d.Himpunan bilangan asli kurang dari 8Ayo Kita!?!?Berlatih2.13.Buncis adalah ... dari himpunan sayur-sayuran, dapat dikatakan buncis adalah ... dari himpunan sayur-sayuran dan dilambangkan dengan ...4.Lele adalah ... dari himpunan bumbu dapur, dapat dikatakan lele ... dari himpunan bumbu dapur dan dilambangkan denganAyo KitaBerbagiCoba diskusikan hasil menalar kalian dengan temanmu. Tulislah hasilnya di buku kalian.
117MATEMATIKA1.1. Penyajian Himpunan Pernahkan kalian diminta orang tua menyajikan makanan untuk sekeluarga? Jika pernah, hal apa saja yang kalian perhatikan sewaktu menyajikan makanan tersebut? Perhatikan Gambar 2.1 berikut.Gambar 2.1 Berbagai Jenis Penyajian MakananSumber:http://norafidahbpsrt.files.wordpress.comSumber: http://www.btravindonesia.com Sumber: http://www.4.bp.blogspot.com Berdasarkan Gambar 2.1 di atas, terdapat berbagai jenis sajian makanan. Demikian juga dalam penyajian himpunan, dapat kita lakukan dengan cara yang berbeda pula. Terdapat 3 cara untuk menyajikan suatu himpunan dengan tidak mengubah makna himpunan tersebut, yakni sebagai berikut.AyoKita AmatiCoba amati cara penyajian himpunan berikut iniCara 1: Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya (enumerasi)Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal. Manakala banyak anggotanya sangat banyak, cara mendaftarkan ini biasanya dimodifikasi, yaitu diberi tanda tiga titik (“...”) dengan pengertian “dan seterusnya mengikuti pola”.Contoh2.1A = {3, 5, 7}B = {2, 3, 5, 7} C = {a, i, u, e, o}D = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
118Kelas VII SMP/MTsSemester 1Cara 2: Dinyatakan dengan menuliskan sifat yang dimiliki anggotanyaSuatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya. Perhatikan himpunan pada Contoh 2.1 dan bandingkan dengan contoh di bawah ini.Contoh2.2A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.B adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10.C adalah himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin.D adalah himpunan bilangan bulat.Sebelum kalian menyajikan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan, sebaiknya kalian mengetahui dulu tentang himpunan bilangan dalam matematika sebagai berikut.SedikitInformasi1.Himpunan semua bilangan asli dinotasikan A. Anggota A = {1, 2, 3, 4, ...}2.Himpunan semua bilangan cacah dinotasikan C. Anggota C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}3.Himpunan semua bilangan bulat dinotasikan B. Anggota B = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}4.Himpunan semua bilangan real dinotasikan R. Contoh bilangan Real: 3, 23, 34, 0,45Cara 3: Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunanSuatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum {x | P(x)} dimana x mewakili anggota dari himpunan, dan P(x) menyatakan syarat yang harus dipenuhi oleh x agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut. Simbol x bisa diganti oleh variabel yang lain, seperti y, z, dan lain-lain. Misalnya A = {1, 2, 3, 4, 5} bisa dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan A = {x | x < 6, dan x∈ asli}.
119MATEMATIKALambang {x | x < 6, dan x∈ asli} ini bisa dibaca sebagai “Himpunan xsedemikian sehingga x kurang dari 6 dan x adalah elemen bilangan asli}.Tetapi, jika kita sudah memahami dengan baik, maka lambang ini biasanya cukup dibaca dengan “Himpunan bilangan asli kurang dari 6”.Contoh2.3A = {x | 1 < x < 8, x adalah bilangan ganjil}, (dibaca: A adalah himpunan yang anggotanya semua x demikian sehingga x lebih dari 1 dan x kurang dari 8, serta x adalah bilangan ganjil).B = {y | y < 10, y adalah bilangan prima}.C = {z | z adalah huruf vokal dalam abjad latin}.Ayo KitaMenanya??Setelah kalian mengamati cara menyajikan himpunan, coba tulislah pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan cara menyajikan himpunan tersebut. Contoh pertanyaan Apakah Himpunan yang disajikan “cara 1” bisa disajikan dengan “cara 2” secara “tunggal”?Ayo KitaMenggali Informasi+=+Agar lebih jelas dalam menyajikan himpunan dengan 3 cara, coba ubahlah sajian himpunan berikut dalam bentuk sajian yang lainnya.1.Himpunan A = {bilangan cacah kurang dari 5}, jika disajikan dengan menyebutkan anggotanya maka A = {0, 1, ..., ..., ...} dan jika disajikan dengan notasi pembentuk himpunan maka A = {x|x< ..., dan x ∈ Bilangan ... ... ... ...}2.Himpunan A = {x|−2< x< 3 dan x ∈ Bilangan bulat}, jika disajikan dengan menyebutkan anggotanya, maka B = {−1, ..., ...., ....} dan jika disajikan dengan menyebutkan sifat keanggotaannya adalah B = {bilangan bulat lebih dari ... dan kurang dari ...}
120Kelas VII SMP/MTsSemester 13.Himpunan C = {2, 4, 6, 8} jika disajikan dengan menyebutkan sifat keanggotaannya adalah C = {Bilangan asli yang ...} atau C = {Bilangan cacah yang ...} atau C = {Empat bilangan genap asli yang pertama} dan jika disajikan dengan notasi pembentuk himpunan adalah C = {x| ... <x< ..., dan x ∈ Bilangan bulat genap}, atau C = {x| ... ≤x≤ ..., dan x ∈ Bilangan asli genap}4.Himpuan bilangan real, tidak bisa dinyatakan dengan penyajian menyebutkan anggota dari suatu himpunan, tetapi bisa disajikan dengan notasi pembentuk himpunan dan disajikan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya.Ayo KitaMenalar1.Himpunan P = {2, 3, 5, 7}. Coba sajikan himpunan P dengan notasi pembentuk himpunan dan sajikan himpunan P dengan menuliskan sifat keanggotaannya 2.Apakah himpunan yang disajikan dengan menyebutkan anggotanya hanya ada satu cara menyajikan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaannya? 3.Apakah himpunan yang disajikan dengan menuliskan notasi pembentuk himpunan, hanya bisa disajikan dengan satu cara dengan menyebutkan anggotanya?4.Apakah semua himpunan dapat disajikan dengan ketiga cara tersebut?5.Apakah semua himpuan dapat dituliskan dengan ketiga penyajian himpunan dengan cara yang berbeda-beda? Ayo KitaBerbagiCoba cocokkan dan diskusikan jawabanmu dengan teman sebangkumu atau dalam kelompok. Diskusikan bersama jika terdapat perbedaan. Sajikan jawaban terbaik kalian di dalam kelas. Kelompok diskusi yang tidak melakukan presentasi, dapat memberikan tanggapan atan pertanyaan dari jawaban tersebut.
121MATEMATIKAAyo Kita!?!?Berlatih2.21.Tulislah anggota-anggota dari himpunan berikuta.A= {bilangan asli yang kurang dari 10}b.B= {bilangan ganjil positif yang kurang dari 16}c.C = {bilangan prima yang genap}d.D= {x| x≤ 9 dan x ∈ Bilangan asli}e.E= {x|−3 < x≤ 12 dan x ∈ Bilangan bulat}f.F= {x| x< 10 dan x ∈ Bilangan cacah}2.Diketahui A = {bilangan ganjil yang habis dibagi 3 dan kurang dari 30}a.Nyatakan himpunan A dengan notasi pembentuk himpunanb.Nyatakan himpunan A dengan menyebutkan anggotanya3.Lengkapilah tabel berikut iniNo.Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanyaDinyatakan dengan menuliskan sifat keanggotaannyaDinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan1.P = {bilangan asli yang kurang dari 10}2.K = {2, 3, 5, 7, 11, 13 }3.L = {x|−5 < x≤ 4, x ∈ Bilangan bulat}4.M = {bilangan asli ganjil yang kurang dari 16}5.N = {x|3< x≤ 12, x ∈ Bilangan Asli}6.O ={1, 2, 3, 4, 6, 12, 24 }7.P = {1,4, 9, 16, 36 }8.Q = {x| x = y2,y ∈ A, y ≠ 3}
122Kelas VII SMP/MTsSemester 11.2. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta AyoKita AmatiDalam keanggotaan himpunan, ada himpunan ynag tidak memiliki anggota, yang dinamakan dengan himpunan kosong. Dalam rangka memahami konsep himpunan kosong, coba kalian amati masalah dan alternatif pemecahannya berikut ini.Masalah2.1Empat orang siswa (Batara, Simon, Sudraja, dan Marsius) memiliki kesempatan sama untuk memenangkan suatu hadiah undian. Agar salah satu dari keempat siswa dipilih secara adil menjadi pemenang, maka panitia memberikan satu dari empat pertanyaan tentang himpunan yang tersedia dalam kotak undian. Keempat pertanyaan pada kotak undian itu adalah sebagai berikut1. Menentukan himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0;2. Menentukan himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari 0 dan kurang dari 1;3. Menentukan himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2;4. Menentukan himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap.Pemenangnya adalah siswa yang dapat menemukan paling sedikit satu anggota himpunannya.Setelah pengundian, Batara mendapatkan pertanyaan nomor 2, Simon mendapat pertanyaan nomor 3, Sudraja mendapat pertanyaan nomor 1, dan Marsius mendapat pertanyaan nomor 4. Siapakah siswa yang kemungkinan menjadi pemenang? Berikan alasanmu.Alternatif Pemecahan MasalahPerhatikan keempat pertanyaan tersebut. Penyelesaian keempat pertanyaan itu adalah sebagai berikut.1.Bilangan cacah yang kurang dari 0. Ingat kembali bilangan cacah yang telah kalian pelajari waktu SD? Anggota bilangan cacah yang paling kecil adalah 0, sehingga himpunan yang diperoleh Sudraja adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
123MATEMATIKA2.Bilangan bulat yang lebih dari 0 dan kurang dari 1.Tidak ada satupun bilangan bulat antara 0 dan 1, sehingga himpunan yang diperoleh Batara adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.3.Bilangan ganjil yang habis dibagi 2.Seluruh bilangan ganjil tidak akan habis dibagi dengan 2. Mengapa? Silakan bertanya kepada gurumu sehingga himpunan yang diperoleh Simon adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.4.Bilangan prima yang merupakan bilangan genap.Anggota himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap adalah 2. Dengan demikian, himpunan yang diperoleh Marsius adalah himpunan yang banyak anggotanya tepat satu, yaitu {2}.Berdasarkan keterangan tersebut, yang dapat menentukan anggota himpunan tepat satu adalah Marsius. Dengan demikian Marsius terpilih menjadi pemenang. Sementara Sudraja, Batara, dan Simon tidak menemukan anggota himpunan atau disebut dengan himpunan kosong.Salah satu karakteristik matematika adalah memperhatikan semesta pembicaraannya. Penyelesaian suatu masalah dalam matematika dimungkinkan akan berbeda jika semesta pembicaraannya berbeda. Demikian juga anggota himpunan tertentu ditentukan oleh semestanya.AyoKita AmatiAgar kalian memahami konsep himpunan semesta, amati dan pahami Masalah 2.2 dan alternatif penyelesaiannya berikut.Masalah2.2Yunita, Septi, dan Andi adalah 3 orang siswa yang diberi tugas oleh Pak Taufiq untuk menuliskan nama siswa yang berawalan huruf tertentu di kelasnya. Yunita diminta menuliskan nama siswa yang berawalan huruf Y, septi diminta menuliskan nama siswa yang berawalan huruf S, dan Andi diminta untuk menuliskan nama siswa yang berawalan huruf A. Langkah-langkah apa yang dilakukan oleh ketiga siswa tersebut?
124Kelas VII SMP/MTsSemester 1Alternatif Pemecahan MasalahLangkah-langkah yang dilakukan Yunita, Septi, dan Andi adalah sebagai berikut.1.Memilih nama siswa yang dimulai dengan huruf Y, huruf S, dan huruf A2.Mengelompokkan menteri yang namanya dimulai dari huruf Y, huruf S, dan huruf A.3.Menyajikan himpunan dengan mendaftar anggotanya.Misalkan S= Himpunan nama semua siswa di dalam kelas A= Himpunan nama-nama siswa yang namanya dimulai dari huruf YB = Himpunan nama-nama siswa yang namanya dimulai dari huruf SC = Himpunan nama-nama siswa yang namanya dimulai dari huruf ABerdasarkan keterangan di atas, himpunan S adalah himpunan yang memuat semua nama siswa di dalam kelas Coba beri nama titik-titik sebagai anggota himpunan A, B, dan C, yaitu nama-nama siswa yang namanya dimulai huruf Y, S, dan A. Kalian dapat menyajikan keempat himpunan dalam diagram Venn berikut ini.Gambar 2.2. Diagram Venn nama siswaS• Sunaryo• SubhanB• Yunita• Yuniar• YasinA• Andi• Ahmad• AntonCBerdasarkan keterangan diatas dapat diperoleh informasi sebagai berikut.1.Himpunan A berada di dalam himpunan S, himpunan B berada di dalam himpunan S, dan himpunan C juga berada di dalam himpunan S. 2.Himpunan S memuat himpunan A, B, dan C artinya himpunan S memuat semua unsur dari himpunan A, B, dan C (himpunan yang sedang dibicarakan).3.Seluruh siswa di kelas merupakan himpunan semesta dari himpunan nama siswa yang namanya dimulai dari huruf Y, huruf S, dan huruf A.
125MATEMATIKAAyo KitaMenanya??Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan himpunan kosong dan himpunan semesta.Ayo KitaMenalar1.Apakah himpunan kosong mempunyai himpunan semesta? Jelaskan.2.Misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8}Seorang siswa diminta untuk menentukan himpunan semesta dari dua himpunan tersebut, kemudian ia menjawab: S = himpunan bilangan bulat.Apakah jawaban siswa tersebut benar? berikan alasanmu. Temukan himpunan semesta yang lain dari kedua himpunan tersebut. 3.Kalau himpunan kosong tidak memiliki anggota, berapa banyak anggota himpunan Semesta?4.Apakah elemen himpunan Semesta adalah himpunan atau bukan himpunan?Berdasarkan hasil pengamatan sampai menalar, dapat disimpulkan sebagai berikut.1.Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota yang dinotasikan dengan φ atau { }.2.Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan, dan dilambangkan dengan S. Himpunan semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal dan disimbolkan dengan U.Agar lebih jelas pemahaman kalian tentang himpunan semesta, coba perhatikan contoh berikut.Contoh2.4Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari A = {1, 3, 5, 7 }
126Kelas VII SMP/MTsSemester 1PenyelesaianAlternatifHimpunan Semesta yang mungkin dari himpunan A adalah a.S = {1, 3, 5, 7}b.S = {bilangan ganjil}c.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}d.S = {bilangan cacah}e.S = {10 bilangan asli pertama}Ayo KitaBerbagiCoba cocokkan jawaban menalarmu dengan temanmu sebangku dan diskusikan jika ada perbedaan.1.3 Diagram VennCara menyajikan himpunan juga bisa dinyatakan dengan gambar atau diagram yang disebut dengan Diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834 – 1923). Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:a.Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf Sdiletakkan di sudut kiri atas.b.Setiap himpunan yang ada dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.c.Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan titik.d.Bila anggota suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.AyoKita AmatiAmati penyajian diagram Venn dari contoh berikut.1.Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunanA = {1, 2, 3} dan himpunan B ={ 4, 5, 6} adalah sebagai berikut.
127MATEMATIKAS• 8• 7• 9A• 1• 2• 3• 6• 4• 5B2.Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A ={1, 2, 3, 4}, himpunan B ={ 4, 5, 6, 7} adalah sebagai berikut.S• 8• 7• 9A• 1• 2• 3• 6• 4• 5B3.Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A={1, 2, 3}, himpunan B ={1, 2, 3, 4, 5, 6}S• 8• 7• 9A• 1• 2• 3• 6• 4• 5B4.Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A={1, 2, 3, 4}, himpunan B ={ 1, 2, 3, 4} adalah sebagai berikut.S• 8• 7• 9A• 1• 2• 3• 6• 4• 5B
128Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo KitaMenanya??Setelah kalian mengamati contoh penyajian diagram Venn dalam beberapa bentuk, tentu kalian penasaran dan ada yang perlu kalian tanyakan, coba tulislah pertanyaan kalian di buku tulismu.Ayo KitaMenggali Informasi+=+Agar lebih jelas dalam membaca diagram Venn, coba selesaikan cara menyatakan suatu himpunan dengan menyebutkan anggotanya dari diagram Venn berikut ini.S• 8• 7A• 1• 2• 3• 6• 4• 5BBerdasarkan diagram tersebut dapat dituliskan anggota dari himpunan berikuta.Himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}b.Himpunan A ={1, 2, 3, 4}c.Himpunan B ={4, 5, 6, 7}d.Himpunan C yang anggotanya menjadi anggota A dan B, maka C = { ... }e.Himpunan D yang anggotanya menjadi anggota A atau B, maka D ={1, 2, 3, ..., ..., ..., ...}f.Himpunan E yang anggotanya tidak menjadi anggota A maupun B, maka E = {..., ....}
129MATEMATIKAAyo KitaMenalar1.Apa perbedaan antara:a.Diagram Venn bentuk 1 dan diagram Venn bentuk 2? b.Diagram Venn bentuk 1 dan diagram Venn bentuk 3?c.Diagram Venn bentuk 2 dan diagram Venn bentuk 3?d.Diagram Venn bentuk 3 dan diagram Venn bentuk 4?2.Gambarlah diagram Venn jika himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}a.Himpunan A ={1, 2, 3, 4} dan himpunan B ={7, 8, 9, 10}b.Himpunan A ={1, 2, 3, 4} dan himpunan B ={1, 2, 3, 4}c.Himpunan A ={1, 2, 3} dan himpunan B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}d.Himpunan A ={1, 2, 3, 4} dan himpunan B ={3, 4, 5, 6 7}Ayo KitaBerbagiCoba cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan temanmu sebangku, jika ada perbedaan coba diskusikan.g.Himpunan F yang anggotanya hanya menjadi anggota A, maka F = {1, ..., ...}h.Himpunan G yang anggotanya hanya menjadi anggota B, maka G = {..., 6, ...}
130Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo Kita!?!?Berlatih2.31.Tulislah semua anggota himpunan berikut ini.a.Himpunan B adalah himpunan semua huruf konsonan. b.Himpunan A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10. c.Himpunan K adalah himpunan semua bilangan asli yang kurang dari 100 dan habis dibagi 3. d.Himpunan C adalah himpunan bilangan asli lebih dari 10. 2.Tentukan pernyataan yang benar dari pernyataan-pernyataan berikut.a. { } b.{−1, 1}c.{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ..., 31, 34, 37, 40}d.{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...}e.{ } ... baca: himpunan kosong 3.Nyatakan himpunan berikut dengan cara mendaftar anggotanya dan dengan cara menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya.a. K = {x| −1 ≤x< 9, x∈ bilangan bulat}b.L = {x| x2 = 9, x∈ bilangan bulat}c.M = {y|y > 0, y > −1, y∈ bilangan bulat}d.N = {z|z > 0, z<11, z∈ bilangan bulat genap}e.O = {x|3x+ 7 = 10, x∈ bilangan bulat asli} 4.Nyatakan himpunan berikut dengan cara mendaftar dan menuliskan notasi pembentuk himpunan.a.Himpunan bilangan kuadrat kurang dari 100 yang ganjilb.Himpunan bilangan ganjil yang kuadratnya kurang dari 100c.Himpunan bilangan prima yang genapd.Himpunan huruf-huruf konsonan dalam alphabete.Himpunan bilangan asli yang kurang dari nol5.Apakah himpunan berikut termasuk himpunan kosong atau bukan?a.himpunan bilangan prima genapb.himpunan bilangan genap yang habis dibagi 7c.himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf Kd.A = {x| x−4 = −8, x∈ bilangan asli} e.B = {x|6 <k< 12, k∈ bilangan cacah kelipatan 7}
131MATEMATIKA6.Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari himpunan-himpunan berikut.a.A = {sepeda motor, mobil, truk } b.B = {jeruk, apel, mangga, durian} c.C = {2, 4, 6, 8}d.D = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,4} 7.Gambarlah diagram Venn dari keterangan berikut.a.A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8 sedangkan himpunan semestanya adalah bilangan ganjil.b.B adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10 sedangkan himpunan semestanya adalah bilangan prima.c.C adalah himpunan huruf vokal sedangkan himpunan semestanya adalah huruf abjad latin.8.Berdasarkan diagram Venn berikut, nyatakan himpunan berikut dengan mendaftar anggotanyaa.Himpunan Sb.Himpunan Ac.Himpunan Bd.Himpunan C yang anggotanya menjadi anggota A dan Be.Himpunan D yang anggotanya menjadi anggota A atau Bf.Himpunan E yang anggotanya tidak menjadi anggota A maupun Bg.Himpunan F yang anggotanya hanya menjadi anggota Ah.Himpunan G yang anggotanya hanya menjadi anggota B9.Gambarlah diagram Venn, apabila himpunan S={bilangan cacah kurang dari 13, himpunan A ={bilangan asli kurang dari 7}, B ={bilangan asli lebih dari 6 dan kurang dari 10}, C ={bilangan asli ganjil kurang dari 10}10.Guru menugaskan empat orang siswa untuk menuliskan himpunan bilangan yang kurang dari 10. Ikhsan hanya menuliskan yang bilangan prima, Khayan menuliskan bilangan yang bulat positif, Noni menuliskan bilangan yang ganjil positif, dan Mia menuliskan bilangan yang genap positif. Bantulah keempat siswa itu mengerjakan tugasnya. Apa persamaan dan perbedaan tugas keempat siswa itu.SA• 1• 2• 3• 6• 4• 5B
132Kelas VII SMP/MTsSemester 1egiatanK 2.2Sifat-sifat Himpunan2.1 Kardinalitas HimpunanAyoKita AmatiCoba amati Masalah 2.3 berikut dan alternatif penyelesaiannya. Masalah2.3Untuk merayakan hari ulang tahun Pak Zulkarnaen yang ke-50, dia mengajak istri dan ketiga anaknya makan di restoran. Setelah tiba di restoran mereka memesan makanan kesukaan masing-masing yang ada daftar menu restoran tersebut. Pak Zulkarnaen memesan ikan bakar, udang goreng, dan jus alpukat. Istrinya memesan ikan asam manis, bakso, dan jus terong belanda. Anak pertama Pak Zulkarnaen memesan ikan bakar, bakso, dan jus alpukat. Anak kedua memesan bakso dan jus terong belanda. Anak ketiganya memesan mie goreng dan jus sirsak. 1.Sebutkan anggota-anggota himpunan makanan kesukaan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen.2.Tuliskan seluruh anggota himpunan makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen.3.Adakah anggota keluarga Pak Zulkarnaen yang memesan makanan yang sama? Jika makanan yang sama ditulis sekali, berapa banyak makanan berbeda yang dipesan oleh keluarga Pak Zulkarnaen? Alternatif Pemecahan Masalah1.Himpunan makanan kesukaan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah sebagai berikut.a.Himpunan makanan kesukaan Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat}. b.Himpunan makanan kesukaan istri Pak Zulkarnaen adalah {ikan asam manis, bakso, jus terong belanda}.
133MATEMATIKAc.Himpunan makanan kesukaan anak pertama Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, bakso, jus alpukat}.d.Himpunan makanan kesukaan anak kedua Pak Zulkarnaen adalah {bakso, jus terong belanda}.e.Himpunan makanan kesukaan anak ketiga Pak Zulkarnaen adalah {mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah tiga.Jika kalian perhatikan semua himpunan tersebut, banyak anggota himpunannya adalah 3.2.Seluruh makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, ikan bakar, bakso, jus alpukat, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak.3.Jika makanan yang sama dituliskan hanya satu kali, maka himpunan makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah 8.Berdasarkan keterangan di atas, bilangan 3 dan 8 menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwaKardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A).SedikitInformasi1.Himpunan hingga adalah himpunan yang memiliki anggota hingga (finiteset)Contoh A ={1, 2, 3, 4}2.Himpunan tak hingga adalah himpunan yang memiliki anggota tak hingga (infiniteset). ContohB ={1, 2, 3, 4, ...}3.Kardinalitas Himpunan hanya untuk himpunan yang hingga (finiteset).Untuk lebih jelasnya, tentang kardinalitas himpunan coba amati contoh berikut ini
134Kelas VII SMP/MTsSemester 1Contoh2.5Tentukan banyak anggota himpunan A dan B berikut.A ={ 2, 4, 6, 8, 10}B ={1, 3, 5, 7,..., 27, 29}Banyak anggota A adalah 5, dinotasikan dengan n(A) = 5.Banyak anggota B adalah 15, dinotasikan dengan n(A) = 15.Ayo KitaMenalar1.Jika M = {x│x< 10, x bilangan bulat positif }, N = {y│y≥−7, y bilangan bulat negatif}, Tentukanlah kardinalitas himpunan M dan N.2.Perhatikan diagram Venn Berikut.SA• a• b• c• i• e• dB• g• h• fa.Tentukanlah kardinalitas himpunan S, himpunan A, dan himpunan B.b.Mengapa kardinalitas himpunan himpunan B lebih banyak dibandingkan kardinalitas himpunan A?c.Mengapa kardinalitas himpunan himpunan S lebih banyak dibandingkan kardinalitas himpunan A dan himpunan B?Ayo KitaBerbagiCoba cocokkan jawabanmu dengan teman sebangku, jika ada perbedaan diskusikan.
135MATEMATIKA2.2Himpunan BagianApakah kalian bagian dari siswa kelas VII SMP? Bagaimana dengan seluruh temanmu satu kelas, apakah mereka juga bagian dari siswa kelas VII SMP? Apakah siswa laki-laki di kelasmu merupakan himpunan bagian dari siswa kelas VII SMP?Untuk menjawab pertanyaan tersebut, coba amati himpunan berikutAyoKita AmatiUntuk menemukan konsep himpunan bagian, amati Masalah 2.4 dan alternatif penyelesaiannya.Masalah2.4Seluruh siswa kelas VIIA SMP Taman Siswa berjumlah 32 orang yang terdiri dari 15 siswa laki-laki dan 17 siswa perempuan. 10 siswa laki-laki gemar sepak bola, 5 siswa laki-laki gemar bola voli, 9 siswa perempuan gemar menari, dan 8 siswa perempuan gemar menyanyi.Tentukan semua himpunan bagian yang mungkin dari masalah tersebut dan gambarlah diagram Venn-nya.Alternatif Pemecahan MasalahJika S adalah himpunan semesta, A adalah himpunan siswa laki-laki, B adalah himpunan siswa perempuan, C adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar sepak bola, D adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar bola voli, E adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menari, dan F adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menyanyi, maka Sumber: KemdikudGambar 2. 3 Siswa Kelas VIIA
136Kelas VII SMP/MTsSemester 11.Himpunan A adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan A ⊂ S2.Himpunan B adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan B ⊂ S3.Himpunan C adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan C ⊂ S4.Himpunan D adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan D ⊂ S5.Himpunan E adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan E ⊂ S6.Himpunan F adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan F ⊂ S7.Himpunan C adalah himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan C ⊂ A8.Himpunan D adalah himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan D ⊂ A9.Himpunan E adalah himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan E ⊂ B10.Himpunan F adalah himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan F ⊂ B11.Himpunan C bukan himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan C ⊄ B12.Himpunan D bukan himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan D ⊄ B13.Himpunan E bukan himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan E ⊄ A14.Himpunan F bukan himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan F ⊄ AGambar diagram Venn untuk masalah tersebut adalahS10 siswa5 siswaCAD9 siswa8 siswaBEFGambar 2.4 Diagram Venn Masalah 2.5
137MATEMATIKAAyo KitaMenanya??Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata himpunan bagian dan bukan himpunan bagian. Berikut ini contoh pertanyaan yang diajukan1. Apakah himpunan C adalah himpunan bagian dari himpunan E? 2.Apakah himpunan B adalah himpunan bagian dari himpunan B?Tulislah pertanyaan kalian di buku tulis.Agar kalian lebih memahami konsep himpunan bagian coba pikirkan penyelesaian masalah berikut iniAyo KitaMenalarCoba perhatikan diagram Venn berikut iniMasalah2.5Perhatikan Gambar 2.5 di samping.1.Sebutkanlah anggota himpunan S, A, B, dan C.2.Apakah himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan S? Jelaskan.3.Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan S? Jelaskan.4.Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan S? Jelaskan.5.Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A? Jelaskan.6.Apa yang dapat kalian simpulkan tentang himpunan bagian dari suatu himpunan?7.Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A? Jelaskan.8.Apakah himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan C? Jelaskan.9.Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan C? Jelaskan.•10SAB•1•2•3C•7•8•6•5•4•9Gambar 2.5 Himpunan bagian
138Kelas VII SMP/MTsSemester 110.Apa yang dapat kalian simpulkan bahwa suatu himpunan bukan merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan?11.Apakah himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A? Jelaskan.12.Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan B? Jelaskan.13.Apakah himpunan C adalah himpunan bagian dari himpunan C? Jelaskan.14.Apa yang dapat kalian simpulkan dari pertanyaan nomor 8, 9, dan 10?15.Apakah himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan A, himpunan B, himpunan C, himpunan D, dan himpunan S? Apa kesimpulan kalian? Alternatif Pemecahan Masalah1.Anggota himpunan A, B , C,dan S adalah sebagai berikut.S = { ... } (latihan buat siswa)A = { ... } (latihan buat siswa)B = { ... } (latihan buat siswa)C = { ... } (latihan buat siswa)2.Untuk menunjukkan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan S dengan memeriksa apakah semua anggota himpunan Aadalah anggota himpunan S Anggota himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan anggota S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Ternyata jelas bahwa setiap anggota himpunan A, menjadi anggota himpunan S, sehingga himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan S dan dilambangkan dengan ...3.... (latihan buat siswa)4.... (latihan buat siswa)5.... (latihan buat siswa)6.Diketahui: A adalah himpunan dan B adalah himpunan, himpunan Amerupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B atau B superset dari A jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, dilambangkan ... atau B ⊃A.7.Untuk menunjukkan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan C dengan memeriksa apakah semua anggota himpunan A adalah anggota himpunan C. Anggota himpunan A = { ... } dan anggota C = { ... }. (latihan buat siswa)Ternyata ada anggota himpunan A, yang bukan menjadi anggota himpunan C, sehingga himpunan A bukan himpunan bagian dari himpunan C dan dilambangkan dengan ... (latihan buat siswa)
139MATEMATIKA8.... (latihan buat siswa)9.... (latihan buat siswa)10.Diketahui: A adalah himpunan dan B adalah himpunan. Jika ada anggota A yang bukan anggota B maka A bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan ... (latihan buat siswa)11.... (latihan buat siswa)12.... (latihan buat siswa)13.... (latihan buat siswa)14.Setiap himpunan adalah ... dari himpunan itu sendiri15.Himpunan kosong dilambangkan dengan “Ø” atau { } merupakan ... dari setiap himpunan. Ayo KitaBerbagiDiskusikan hasil menalar kalian dengan temanmu dan presentasikan kepada teman yang lainnya.Ayo Kita!?!?Berlatih2.41.Tentukan benar atau salah pernyataan berikut inia.{ 1, 2, 3} ⊂{ −1, 0, 1, 2, 3}b.{− 1, 1} ⊂{ 0, 1, 2, 3}c.{ } ⊂{ a, b, c, d}d.a⊂{ a, b}e.{1, 2, 3} ⊂{1, 2, 3}f.{ } ⊂{ }2.Diberikan himpunan-himpunan: P = { x | x bilangan asli, 0 < x < 10} Q = { x | x bilangan asli, 0 < x < 6 } dan R = { x | x bilangan prima, 0 < x < 6}, Periksa apakah: a.P ⊂ Q; b.Q ⊂ P; c.Q ⊂ R; d.R ⊂ Q; e.R ⊂ P; f.P ⊂ R.
140Kelas VII SMP/MTsSemester 12.3Himpunan KuasaAyoKita AmatiUntuk memahami konsep himpunan Kuasa, coba amati dan cermati Masalah 2.6 beserta penyelesaiannya berikut ini.Masalah2.6SMP Al Amin akan mempersiapkan dua orang siswanya, Ningsih dan Taufan untuk mengikuti olimpiade matematika SMP tingkat provinsi. Persyaratan untuk mengikuti olimpiade adalah sekolah boleh mengirimkan satu orang siswa atau lebih dan boleh tidak mengirimkan wakilnya untuk mengikuti olimpiade tersebut. Berapa banyak cara yang dilakukan SMP Al Amin untuk mengirimkan wakilnya mengikuti olimpiade matematika tersebut?Alternatif Pemecahan MasalahBanyak cara yang dilakukan SMP Al Amin dalam mengikuti olimpiade matematika tersebut adalah sebagai berikut.•Cara pertama: Tidak mengirimkan siswa mengikuti olimpiade.•Cara kedua: Hanya mengirimkan Ningsih mengikuti olimpiade.•Cara ketiga: Hanya mengirimkan Taufan mengikuti olimpiade.•Cara keempat: Mengirimkan Ningsih dan Taufan secara bersama-sama mengikuti olimpiade.Maka, ada 4 cara pengiriman yang dapat dilakukan SMP Al Amin untuk mengikuti olimpiade tingkat provinsi.Jika A adalah himpunan siswa SMP Al Amin yang akan mengikuti olimpiade matematika tingkat provinsi, maka A = {Ningsih, Taufan}.Misalkan himpunan siswa yang akan dikirim mengikuti olimpiade dari keempat cara pengiriman adalah himpunan B untuk cara I, himpunan C untuk cara II, himpunan D untuk cara III, dan himpunan E untuk cara IV, maka •Cara pertama: Himpunan B = { }•Cara kedua: Himpunan C = {Ningsih}•Cara ketiga: Himpunan D = {Taufan}•Cara keempat: Himpunan E = {Ningsih, Taufan}
141MATEMATIKADengan demikian dapat dikatakan sebagai berikut. •Himpunan B merupakan himpunan bagian dari A. •Himpunan C merupakan himpunan bagian dari A. •Himpunan D merupakan himpunan bagian dari A. •Himpunan E merupakan himpunan bagian dari A. •Berdasarkan uraian di atas, maka anggota-anggota himpunan bagian dari A adalah {{ }, {Ningsih}, {Taufan}, {Ningsih, Taufan}}. Agar kalian lebih jelas tentang anggota-anggota himpunan bagian, coba perhatikan contoh berikut.Ayo KitaMenanya??Tulislah pertanyaan yang berkaitan dengan Masalah 2.6. Misalnya terdapat tiga orang siswa, ada berapa banyak cara mengirim peserta olimpiade? Ayo KitaMenggali Informasi+=+Cermati dan pahami contoh berikut iniContoh2.6Diberikan himpunan A = {1, 3, 5}. Berapa banyak semua himpunan bagian dari himpunan A dan sebutkan?PenyelesaianAlternatifHimpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut.1.Himpunan bagian yang banyak anggotanya 0, yaitu { }2.Himpunan bagian yang banyak anggotanya 1, yaitu {...}, {...}, {...}.3.Himpunan bagian yang banyak anggotanya 2, yaitu ... 4.Himpunan bagian yang banyak anggotanya 3,yaitu ... Jadi, banyaknya himpunan bagian dari A adalah 6, yaitu { ... }
142Kelas VII SMP/MTsSemester 1Semua himpunan bagian dari suatu himpunan dinamakan dengan himpunan Kuasa, sehingga dapat disimpulkan bahwa Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).Banyaknya himpunan bagian yang mempunyai n anggota ternyata mempunyai hubungan dengan pola bilangan pada segitiga Pascal, yang digambarkan sebagai berikut.AyoKita AmatiCoba amati banyaknya himpunan bagian dengan pola bilangan pada segitiga Pascal berikut ini.1untuk himpunan bagian dari { }11untuk himpunan bagian dari {a}121untuk himpunan bagian dari {a, b}1331untuk himpunan bagian dari {a, b, c}14641untuk himpunan bagian dari {a, b, c, d}15101051untuk himpunan bagian dari {a, b, c, d, e}1615201561untuk himpunan bagian dari {a, b, c, d, e, f}banyak himpunan bagian dengan 5 anggotabanyak himpunan bagian dengan 4 anggotabanyak himpunan bagian dengan 3 anggotabanyak himpunan bagian dengan 2 anggotabanyak himpunan bagian dengan 1 anggota
143MATEMATIKAPerhatikan keterangan pola bilangan segitiga Pascal di atas untuk himpunan dengan enam anggota, yaitu 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1a.Banyak himpunan bagian yang mempunyai 2 anggota adalah 15.b.Banyak himpunan bagian yang mempunyai 3 anggota adalah 20.c.Banyak himpunan bagian yang mempunyai 4 anggota adalah 15.d.Banyak himpunan bagian yang mempunyai 5 anggota adalah 6.Ayo KitaMenanya??Buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan banyaknya himpunan bagian dengan n anggota dengan pola bilangan pascal.Untuk mengetahui himpunan-himpunan bagian dari suatu himpunan dan banyak semua himpunan bagiaannya, coba lakukan kegiatan menalar berikut ini.Ayo KitaMenalarIsilah titik dalam tabel berikut ini HimpunanBanyak AnggotaHimpunan-himpunan Bagian P(A)Banyak Himpunan Bagian n(P(A)){ }0{ }1 = 20{ a }1{ }, { a }2 = 21{a, b}......... = 22{a, b, c}......... = ...{a, b, c, d}......... = ............... = ...{a, b, c, ...}n...... =2nBerdasarkan pola tersebut, dapat diperoleh kesimpulan tentang himpunan kuasa sebagai berikut.
144Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo Kita!?!?Berlatih2.5Misalkan A himpunan dan P(A) adalah himpunan kuasa A.Jika n(A) = n dengan n bilangan cacah, maka n(P(A)) = 2nAyo KitaBerbagiDiskusikan jawaban kalian dengan temanmu dan presentasikan jika sudah benar.1.Tentukan semua himpunan bagian dari A ={a, b, c}2.Tentukan semua himpunan bagian dari M ={x │2 ≤ x ≤ 6 }3.Tentukan himpunan kuasa dari himpunan berikut.a.A = {1, 2, 3, 4}b.B ={1, 2, 3, 4, 5}c.C ={1, 2, ..., 7, 8}4.Tentukan semua himpunan bagian dari K ={p, q, r, s, t}yang memilikia.Dua anggotab.Tiga anggotac.Empat anggota5.Tentukan semua himpunan bagian dari Y ={bilangan prima lebih dari 6 dan kurang dari 25 } yang memilikia.Dua anggotab.Tiga anggotac.Empat anggota
145MATEMATIKA2.4Kesamaan dua HimpunanAyoKita AmatiKapan dua himpunan dikatakan sama? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, coba amati tabel berikut iniNo. Himpunan AHimpunan BSama/Tidak sama1.{1, 2, 3}{1, 2, 3}Sama2.{3, 2, 1}{1, 2, 3}Sama3.{1, 2, 3, 4}{1, 2, 3}Tidak sama 4.{a, b, c}{1, 2, 3}Tidak sama 5.{a, b, c, d}{d, a, b, c}Sama6.{p, q, r, s}{p, r, s, q}Sama7.{p, q, r}{p, r, s, p}Tidak sama8.{a, b, c, d}{a, b, c, d, ...}Tidak samaAyo KitaMenanya??Buatlah pertanyaan tentang dua himpunan dikatakan sama dan tidak sama, misalnya Mengapa contoh nomor 8 termasuk himpunan tidak sama?Ayo KitaMenggali Informasi+=+selidiki Contoh 2.7 berikut alternatif penyelesaiannya.Contoh2.7Diketahui himpunan A = {h, a, r, u, m} dan B = {m, u, r, a, h}.
146Kelas VII SMP/MTsSemester 1a.Selidiki apakah A⊂B?b.Selidiki apakah B⊂A?c.Perhatikan anggota himpunan A dan B, kesimpulan apa yang bisa kamu temukan?d.Apakah A ekivalen B?PenyelesaianAlternatifa.Untuk menyel diki apakah A⊂B, maka kita periksa apakah semua anggota himpunan A adalah anggota himpunan B.•h∈A dan ternyata h ∈ B•a ∈ A dan ternyata a ∈ B•r ∈ A dan ternyata r ∈ B•u ∈ A dan ternyata u ∈ B•m ∈ A dan ternyata m ∈ BKarena semua anggota himpunan A ada di himpunan B maka A ⊂ B.b.Untuk menyelidiki apakah B ⊂ A, maka kita periksa apakah setiap anggota himpunan B apakah ada pada anggota himpunan A. •m ∈ B dan ternyata m ∈ A•u ∈ B dan ternyata u ∈ A•r ∈ B dan ternyata r ∈ A•a ∈ B dan ternyata a ∈ A•h ∈ B dan ternyata h ∈ AKarena semua anggota himpunan B ada di himpunan A maka B ⊂ A.c. Karena A⊂B dan B ⊂A, maka A = B.Kerena kardinalitas himpunan A sama dengan kardinalitas himpunan B atau n(A) = n(B), maka himpunan A ekuivalen dengan himpunan B. Jadi dua himpunan yang sama pasti ekivalen, tapi dua himpunan yang ekivalen, belum tentu sama.Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.• Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A⊂B dan B ⊂ A, dinotasikan dengan A = B.• Jika n(A) = n(B), maka himpunan A ekuivalen dengan himpunan B.i
147MATEMATIKAAyo KitaMenalarSelesaikan soal berikut ini.1.Diketahui himpunan P = {1, 2, 3} dan Q = {1, 3, 2}. Selidiki apakah P ⊂ Q dan Q ⊂ P2.Coba diskusikan dengan temanmua.Jika dua himpunan ekuivalen, apakah kedua himpunan itu pasti sama?b.Jika dua himpunan sama, apakah kedua himpunan itu pasti ekuivalen?Ayo KitaBerbagiTukarkan jawabanmu dengan temanmu sebangku dan diskusikanlah jika masih ada perbedaan.Ayo Kita!?!?Berlatih2.61.Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mencacah seluruh anggotanya!a.A = {x | x ∈ P, x < 20, P bilangan prima}b.B = {x | x adalah bilangan bulat positif yang kurang dari 12}c.C = {x | x adalah kuadrat dari bilangan bulat, x < 100}d.D = {x | xG, x < 10, G bilangan genap positif}2.Nyatakan himpunan berikut dengan menuliskan notasi pembentuk himpunannya!a.P = {0, 3, 6, 9, 12}b.Q = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}c.R = {m, n, o, p}
148Kelas VII SMP/MTsSemester 13.Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota- anggotanyaa.P = {bilangan cacah ganjil kurang dari 20}b.Q = {bilangan genap antara 1 dan 40 yang habis dibagi 4}c.R = {bilangan prima antara 50 dan 80}d.S = { bilangan bulat kurang dari 10}4.Sebutkan tiga himpunan semesta dari himpunan-himpunan berikuta.K = {2, 3, 5, 7}b.L = {2, 4, 6, 8, 10}c.M = {sapi, kerbau, kambing}d.N = {harimau, buaya, singa}5.Apakah setiap pasangan himpunan ini sama atau tidak!a.A = {2} dan B = {{1}}b.R = {1} dan S = {1,{1}}c. C = Ø dan D = {Ø}d. X = {m, n, o, p} dan Y = {m, o, p, n}6.Tentukan semua himpunan kuasa dari himpunan-himpunan berikuta.A = {0, 1, 2}b.B = {1, 2, 3, 4}c.C = {a, i, u, e, o}7.Diketahui A = {2, 4, 6}, B = {2, 6}, C = {4, 6}, dan D = {4,6,8}. Tentukan pasangan himpunan bagian dari himpunan-himpunan tersebut!8.Diketahui P adalah himpunan siswa di kelasmu yang mempunyai adik, nyatakanlah P dengan mendaftar anggotanya, dan Q adalah himpunan siswa di kelasmu yang mempunyai kakak, nyatakanlah Qdengan mendaftar anggotanya. Nyatakanlah himpunan P dan Q dalam suatu diagram Venn!
149MATEMATIKA9.Tentukan pernyataan yang benar dari pernyataan-pernyataan berikut!a. x∈ {x}e. x∈ {{x}}b. {x} ⊂ {x}f. ∅⊂ {x}c. {x} ∈ {{x}}g. {x} ∈ {x}d. ∅∈ {x}h. {x} ⊂ {{x}}10.Diketahui A ⊂ C dan B ⊂ C. Lukiskanlah seluruh kemungkinan diagram Venn dari himpunan A, B, dan C!11.Misalkan M adalah himpunan yang didefinisikan sebagai {x∈B │x2 ≤ 10, x −1 < 2} dengan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan banyaknya himpunan bagian tak kosong dari M.12.Tentukan kardinalitas himpunan-himpunan berikuta.A = {1, 2, 3, 4}b.B = {a, i, u, e, o}c.C = {merah, kuning, hijau}d.D = {m, a, t, e, m, a, t, i, k, a}13.Tentukan Himpunan Kuasa dari himpunan-himpunan berikuta.{a}b.{a, b}c.{a, {∅}}d.{∅, {∅},{∅, {∅}}}14.Jika A adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang membagi habis bilangan 2015, tentukan banyak himpunan bagian dari A yang tidak kosong. 15.Dengan menerapkan prosedur yang telah diajarkan, cek kesamaan himpunan A={1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 3, 5, 2, 4}. Berapa langkah yang diperlukan untuk memastikan A=B? Berapa pencocokan yang harus dilakukan? Apakah kalian dapat membuat kesimpulan keterkaitan antara banyaknya anggota himpunan dengan banyaknya langkah dan banyaknya pencocokan?
150Kelas VII SMP/MTsSemester 1egiatanK 2.3Operasi Himpunan Selama ini kalian mengenal operasi dalam bilangan. Sama seperti bilangan, himpunan-himpunan juga bisa dioperasikan satu sama lain. Operasi-operasi himpunan itu mencakup: (1) Irisan, (2) Gabungan, (3) Selisih, dan (4) Komplemen.3.1 Irisan (Intersection)AyoKita AmatiUntuk mengetahui apa itu irisan dan gabungan dari dua himpunan, coba amati hubungan dua himpunan dalam tabel berikut ini. Fokuskan pengamatan kalian pada irisan dari dua himpunan.Tabel 2.1 Irisan dan gabungan dari dua himpunan No. Himpunan-himpunanDiagram VennIrisan Gabungan 1.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3} B = {4, 5, 6}A saling asing (disjoint) denganBS• 7• 8• 9AB• 1• 2• 3• 5• 4• 6A ∩ B = { }A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 5, 6}2.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3, 4} B = {4, 5, 6, 7}A berpotongan (intersected) dengan BS• 8• 9AB• 1• 7• 2• 3• 5• 4• 6A ∩ B = { 4 }A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
151MATEMATIKANo. Himpunan-himpunanDiagram VennIrisan Gabungan 3.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3} B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}A himpunan bagian (subset) dari BS• 7• 8• 9BA• 1• 2• 3• 5• 4• 6A ∩ B ={ 1, 2, 3} = AA ∪ B ={1, 2, 3, 4, 5, 6}= B4S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4}A sama dengan BS• 7• 8• 9BA• 1• 2• 3• 5• 4• 6A∩B ={1, 2, 3, 4 } = A = BA∪B={1, 2, 3, 4} = A = B1.Misalkan S adalah himpunan semesta, irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ∩ B. Irisan dua himpunan dinotasikan A ∩ B = {x | x ∈A dan x ∈B}.2.Misalkan S adalah himpunan semesta, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ∪B. Gabungan dua himpunan ditulis A∪B = {x | x∈A atau x ∈ B}.Ayo KitaMenanya??Setelah kalian mengamati tabel irisan dari dua himpunan, coba rumuskan pertanyaan, misalnya mengapa irisan dua himpunan nomor satu menghasilkan himpunan kosong..
152Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo KitaMenggali Informasi+=+Masalah2.7Dalam suatu kelas terdapat 35 siswa. Di kelas tersebut ada 22 siswa suka makan soto, 15 siswa suka makan bakso, dan 3 siswa tidak suka keduanya. a.Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atasb.Berapa siswa yang suka makan soto dan bakso?Alternatif Pemecahan MasalahMisalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas n(S) = 35.Misalkan A adalah himpunan semua siswa yang makan soto, maka n(A) = 22.Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang suka makan bakso, maka n(B) = 15.Misalkan C adalah himpunan siswa yang suka makan soto dan bakso n(C) = xA ∩ B adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan fisika, maka n(A ∩ B) = x. Misalkan D adalah himpunan siswa yang tidak suka makan soto dan bakso n(D) = 3.a.Diagram VennSAB• 22 – x•x•x – 15b.Banyak siswa yang suka makan soto dan bakso adalah n(S) = n(A) – x + n(A ∩ B) + n(B) – x + n(D)35 = 22 – x + x + 15 – x + 3
153MATEMATIKA35 = 22 + 15 + x + 335 = 40 – x x = 40 – 35 x = 5Jadi, banyaknya siswa yang suka soto dan bakso adalah 5 siswaContoh2.9Diketahui himpunan A = {1, 3, 5, 7) dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Selidiki apakah A ⊂B, bagaimana hubungan A ∩ B dengan himpunan A? PenyelesaianAlternatifKedua himpunan itu adalah:A = {1, 3, 5, 7) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}Untuk menyelidiki apakah A ⊂B, kita lakukan langkah berikut.Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B yaitu: 1 ∈A dan 1 ∈B; 3 ∈A dan 3 ∈ B; 5 ∈ A dan 5 ∈B; 7 ∈A dan 7 ∈B. Karena seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka disimpulkan A ⊂B.Hubungan A ∩ B dengan himpunan A: Karena: 1 ∈A dan 1 ∈B; 3 ∈A dan 3 ∈B; 5 ∈A dan 5 ∈B; 7 ∈ A dan 7 ∈BMaka (A ∩ B) = {1, 3, 5, 7}Ternyata (A ∩ B) = ABerdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa Misalkan A dan B adalah dua himpunan tak kosong. Jika A ⊂ B, makaA∩B=A.
154Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo KitaMenalar1.Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {bilangan prima kurang dari 10}, dan C = { x | 7 ≤ x ≤ 11 x ∈ Bilangan Asli}. a.Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut.b.Tentukan anggota dari dan gambarlah diagram Venn dari1)A ∩ B2)A ∩ C3)B ∩ C4)A ∩ B ∩ C2.Dalam suatu kelas terdapat 35 siswa. Setelah ditanya ternyata ada 18 siswa gemar minum susu, 20 siswa gemar minum teh, dan 3 siswa tidak gemar keduanya. a.Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atasb.Tentukan banyaknya siswa yang gemar minum susu dan tehAyo KitaBerbagiSetelah kalian menyelesaikan kegiatan menalar, coba diskusikan jawaban kalian dengan teman sebangku dan pastikan jawaban kalian benar. Setelah itu coba presentasikan jawaban yang benar tersebut di dalam kelas.
155MATEMATIKAAyo Kita!?!?Berlatih2.71.Diketahui himpunan A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, himpunan B = {1, 3, 5, 7}, C = {1, 2, 3, 4}, himpunan D = {4, 5, 6, 7}, tentukan anggota-anggota daria.A ∩ Bb.A ∩ Cc.B ∩ Cd.C ∩ De.B ∩ D2.Diketahui A ={bilangan asli kurang dari 20}B = {bilangan asli genap kurang dari 15}C ={bilangan asli ganjil kurang dari 10}D ={bilangan asli lebih dari 7 dan kurang dari 15}a.Tentukan anggota dari himpunan A, B, C, dan Db.Tentukan anggota dari B ∩ C, B ∩ D, dan C ∩ Dc.Gambarlah diagram Venn-nya 3.Diketahui S = {x│–3 ≤ x ≤ 6, x∈B}P = { x│0 ≤ x ≤ 5, x∈B}Q = { x│–2 ≤ x ≤ 2,x∈B}R = { x│–1 ≤ x ≤ 8, x∈B}a.Tentukan anggota dari himpunan P, Q, R, dan Sb.Tentukan anggota dari P ∩ Q, P ∩ R, Q ∩ R dan P ∩ Q ∩ Rc.Gambarlah diagram Venn-nya4.Dalam suatu kelas terdapat 36 siswa. Diantaranya ada 18 siswa gemar pelajaran Matematika, 20 siswa gemar Bahasa Indonesia, dan 2 siswa tidak gemar keduanya.a.Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebutb.Tentukan banyak siswa dalam kelas tersebut5.Di antara warga RT 05 yang terdiri atas 50 orang, ternyata 30 orang berlangganan majalah, 25 orang berlangganan koran, dan 5 orang tidak berlangganan keduanya.a.Gambarlah suatu diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas b.Berapa banyak warga RT 05 yang berlangganan koran dan majalah?
156Kelas VII SMP/MTsSemester 13.2 Gabungan (Union)AyoKita AmatiUntuk mengetahui apa itu gabungan dari dua himpunan, coba amati kembali Tabel 2.1 di atas, fokuskan pengamatan kalian pada gabungan dari dua himpunan. Ayo KitaMenanya??Setelah kalian mengamati gabungan dari dua himpunan, sekarang coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan gabungan dari dua himpunan tersebut. Contoh pertanyaan itu adalah mengapa untuk hubungan dua himpunan yang nomor 3 menghasilkan himpunan B?Ayo KitaMenggali Informasi+=+Contoh2.9Diketahui himpunan A = {1, 3, 5, 7) dan B = {5, 7, 8, 9, 10}. a.Gambarlah diagram Venn dari kedua himpunan tersebutb.Tentukan A ∪ B PenyelesaianAlternatifa.Kedua himpunan itu adalah:A = {1, 3, 5, 7) B = {5, 7, 8, 9, 10}Diagram Venn dari kedua himpunan tersebut adalah b.A∪B = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}S• 8• 9AB• 1• 7• 3• 5• 10
157MATEMATIKAContoh2.10Dalam satu kelas terdapat 20 siswa gemar sepak bola, 12 siswa bola voli, 5 siswa gemar keduanya, dan 2 siswa tidak gemar keduanya. a.Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebutb.Berapa banyak siswa dalam kelas tersebutPenyelesaianAlternatifa.MisalnyaS = {banyak siswa di kelas tersebut}A ={banyak siswa yang gemar sepak bola}B ={banyak siswa yang gemar bola voli}Maka diagram Venn dari keterangan di atas adalah SAB• 5• 212 – 5 = 720 – 5 = 15b.Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah 15 + 5 + 7 + 2 = 29Jadi, banyak siswa dalam kelas tersebut adalah 29 siswa. Ayo KitaMenalar1.Diketahui himpunan A, himpunan B coba selidiki apakah berlakun(A ∪B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)2.Diketahui himpunan A, himpunan B, dan himpunan C, coba selidiki apakah berlaku n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
158Kelas VII SMP/MTsSemester 13.Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {1, 2, 3, 4}, B = {bilangan prima kurang dari 10}C = { x | 2 ≤ x ≤ 7 x ∈ Bilangan Asli . a.Tentukan anggota dari dan gambarlah diagram Venn dari1)A ∪B2)A ∪C3)B ∪C4)A ∪B ∪Cb.Gambarlah diagrm Venn dari keterangan tersebutc.Tentukan n(A ∪B ∪C)Ayo KitaBerbagiTukarkan jawabanmu dengan teman sebangku atau dalam kelompok kecil. Coba cocokkan, jika masih ada perbedaan diskusikan.Ayo Kita!?!?Berlatih2.81.Diketahui himpunan A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, himpunan B = {1, 3, 5, 7}, C = {1, 2, 3, 4}, himpunan D = {4, 5, 6, 7}, tentukan anggota-anggota daria.A∪Bb.A∪Cc.A∪Dd.B∪Ce.B∪Df.C∪D
159MATEMATIKA2.Diketahui S ={bilangan Cacah kurang dari 15}A = {bilangan asli genap kurang dari 11}B ={bilangan asli ganjil kurang dari 8}C ={bilangan asli lebih dari 4 dan kurang dari 7}a.Tentukan anggota dari himpunan S, A, B, dan Cb.Tentukan anggota dari B ∪C, A∪B, A∪C, dan A ∪B∪Cc.Gambarlah diagram Venn-nya 3.Diketahui S = {x │–10 ≤ x ≤ 10 }P = {x │–5 ≤ x ≤ 5 }Q = {x│–8 ≤ x ≤ 2 }R = {x│–2 ≤ x ≤ 8 }a.Tentukan anggota dari himpunan P, Q, R, dan Sb.Tentukan anggota dari P ∪Q, P ∪R, Q∪R, dan P∪Q∪Rc.Gambarlah diagram Vennya4.Dalam suatu kelas terdapat 26 siswa gemar pelajaran Matematika, 20 siswa gemar Bahasa Indonesia, 10 siswa gemar keduanya, dan 5 siswa tidak gemar keduanya.a.Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebutb.Tentukan banyak siswa dalam kelas tersebut3.3 Komplemen (Complement)Gabungan, Irisan, dan Selisih adalah contoh dari operasi biner, yaitu operasi yang memerlukan dua unsur untuk dioperasikan. Selain operasi biner ada operasi uner yang hanya memerlukan satu unsur, yaitu operasi komplemen. Berbeda dengan operasi biner yang semestanya tidak perlu ditetapkan, maka operasi komplemen memerlukan ditetapkannya himpunan semesta. Tanpa himpunan semesta, operasi komplemen ini tidak bisa dilakukan. Sebenarnya operasi komplemen ini mirip dengan operasi selisih, hanya saja yang dicari adalah selisih dari semesta dari himpunan tertentu.
160Kelas VII SMP/MTsSemester 1AyoKita AmatiCoba amati Tabel 2.2 berikut, dan fokuskan pengamatan kalian pada kolom komplemen Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan.1.Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dinotasikan dengan Ac. Notasi pembentuk himpunan Ac= {x | x ∈S tetapi x ∉A} 2.Selisih himpunan B terhadap himpunan A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dinotasikan dengan A – B.Notasi pembentuk himpunan A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B} = A ∩ BcTabel 2.2 Komplemen dan selisih himpunanNo.Himpunan-himpunanDiagram VennKomplemen Selisih 1.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3} B = {4, 5, 6}A saling asing (disjoint) dengan BS• 7• 8• 9AB• 1• 2• 3• 5• 4• 6Ac={4, 5, 6, 7, 8, 9 }Bc={1, 2, 3, 7, 8, 9 }A – B = {1, 2, 3 }B – A = {4, 5, 6 }2.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3} B = {4, 5, 6, 7}A berpotongan (intersected) dengan BS• 8• 9AB• 1• 7• 2• 3• 5• 4• 6Ac={5, 6, 7, 8, 9 }Bc={1, 2, 3, 8, 9 }A – B = {1, 2, 3 }B – A = {5, 6, 7 } 3S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3} B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}A himpunan bagian (subset) dari BS• 7• 8• 9BA• 1• 2• 3• 5• 4• 6Ac={4, 5, 6, 7, 8, 9 }Bc={7, 8, 9 }A – B = { }B – A = {4, 5, 6 }.
161MATEMATIKANo.Himpunan-himpunanDiagram VennKomplemen Selisih 4S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4}A sama dengan BS• 7• 8• 9BA• 1• 2• 3• 5• 4• 6Ac={5, 6, 7, 8, 9 }Bc={5, 6, 7, 8, 9 }A – B = { }B – A = { }Ayo KitaMenanya??Setelah kalian mengamati komplemen dari suatu himpunan, jika kalian masih belum memahami, coba rumuskan pertanyaan bagain yang mana yang belum kalian pakami.Masalah2.8Di wilayah RT 05 ada penduduk yang memelihara hewan ternak. Hewan ternak tersebut antara lain adalah kuda, sapi, kambing, ayam, bebek, kelinci, dan burung. Pak Harno dan Pak Ahmad adalah penduduk RT 05. Pak Harno mempunyai hewan ternak ayam, burung, dan kelinci. Pak Ahmad mempunyai hewan ternak bebek, kambing, dan burung. a.Tentukan hewan ternak di wilayah RT 05 yang bukan milik Pak Harno.b.Tentukan hewan ternak di wilayah RT 05 yang bukan milik Pak Ahmad.Alternatif Pemecahan MasalahMisalkan:S adalah himpunan semua hewan ternak yang ada di wilayah RT 05.A adalah himpunan semua hewan milik Pak HarnoB adalah himpunan hewan ternak milik Pak Ahmad.
162Kelas VII SMP/MTsSemester 1Maka himpunan-himpunan itu adalah:S = {kuda, sapi, kambing, ayam, bebek, kelinci, dan burung}A = {ayam, burung, dan kelinci}B = {bebek, kambing, dan burung}a.Misalkan himpunan hewan ternak di wilayah RT 05 yang bukan milik Pak Harno adalah P. P adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S.Untuk menentukan anggota himpunan P, yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S, yaitu P = { kuda, sapi, kambing, bebek}. Diagram Venn dari himpunan P adalah sebagai berikutABSburungayamkelincibebekkambingsapikudaGambar 2.16 Diagram Venn himpunan Pb.Misalkan Q adalah hewan ternak di wilayah RT 05 yang bukan milik Pak Ahmad. Q adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S, yaitu Q = { kuda, sapi, ayam, kelinci }. ABSburungayamkelincibebekkambingsapikudaGambar 2.17 Diagram Venn himpunan Q
163MATEMATIKAAyo KitaMenalar1.Misalkan A dan B adalah himpunan, selidiki apakah a.(A∪B)c= Ac∩Bcb.(A∩B)c= Ac∪Bcc.(Ac)c= A2.Hasil survey tentang acara televisi yang paling disukai warga yang usianya di atas 17 tahun di RT 05 kelurahan Arjosari adalah 110 warga suka sinetron, 90 warga suka olah raga, 20 orang suka keduanya, dan 5 orang tidak suka keduanya.a.Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebutb.Berapa banyak warga RT 05 kelurahan Arjosari?c.Berapa banyak warga yang tidak suka pada acara sinetron?d.Berapa banyak warga yang tidak suka pada acara olahraga?Ayo KitaBerbagiSetelah kalian mencoba menalar, coba tanyakan pada guru kalian tentang kebenaran jawabanmu. Jika masih salah mintalah petunjuk cara menyelesaikannya.3.4. Selisih (Difference)AyoKita AmatiCoba amati kembali Tabel 2.2 di atas, fokuskan pengamatan kalian pada kolom selisih.
164Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo KitaMenanya??Setelah kalain mengamati selisih dari dua himpunan pada Tabel 2.2 tersebut, coba tulislah pertanyaan yang berkaitan dengan selisih dari dua himpunan, misalnya mengapa selisih dari dua himpunan pada nomor 4 hasilnya himpunan kosong?Ayo KitaMenggali Informasi+=+Masalah2.9Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa yang senang dengan pelajaran matematika, 25 orang siswa senang dengan pelajaran fisika, dan 10 orang siswa senang pelajaran matematika dan fisika. a.Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas.b.Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran matematika?c.Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran fisika?d.Berapa banyak siswa dalam kelas itu?Alternatif Pemecahan MasalahPada masalah ini, tidak disajikan anggota-anggota setiap himpunan, cukup kita fokus pada banyak anggota setiap himpunan. Perlu kalian ketahui bahwa siswa yang senang dengan pelajaran matematika tidak menutup kemungkinan bahwa siswa tersebut juga senang dengan pelajaran fisika, sebaliknya juga demikian.Misalkan A adalah himpunan semua siswa yang senang belajar matematika, maka n(A) = 30.Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang senang belajar fisika, maka n(B) = 25.
165MATEMATIKAMisalkan M adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar matematika.Misalkan F adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar fisika.Misalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas.A∩B adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan fisika, maka n(A ∩B) = 10. a.Diagram VennABS• 10• 15• 20b.Siswa yang hanya senang pelajaran matematikaBanyak siswa yang senang pelajaran matematika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya. n(A) = n(M) + n(A ∩B)30 = n(M) + 10n(M) = 30 – 10= 20Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 20 orang.c.Siswa yang hanya senang pelajaran fisika. Banyak siswa yang senang pelajaran fisika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya. n(B) = n(F) + n(A ∩B)25 = n(F) + 10n(F) = 25 – 10 = 15Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 15 orang.
166Kelas VII SMP/MTsSemester 1f.Banyak siswa dalam kelas Banyak siswa dalam satu kelas yaitu banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.n(S)= n(M) + n(F) + n(A ∩B)= 20 + 15 + 10= 45Jadi, banyak siswa kelas itu adalah 45 orang.Masalah2.10Di Desa Sabulan yang terletak di pulau Samosir terdapat 100 rumah tangga. Dari jumlah tersebut 60 rumah tangga memelihara ternak ayam, 35 rumah tangga memelihara ternak kambing, 45 rumah tangga memelihara ternak sapi, 15 rumah tangga memelihara ternak ayam dan ternak kambing, 5 rumah tangga memelihara ternak kambing dan ternak sapi, 20 rumah tangga memelihara ternak ayam dan ternak sapi. Jika 5 rumah tangga memelihara ketiga ternak itu, selesaikanlah permasalahan berikut!a.Gambarkanlah diagram Venn dari keterangan di atas.b.Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam?c.Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing?d.Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi?e.Berapa rumah tangga yang tidak memelihara ternak ketiga-tiganya?Alternatif Pemecahan Masalaha.Diagram Venn berikut ini menunjukkan ternak penduduk desa Sabulan.
167MATEMATIKAAGDBHSapiAyamKambingECFSGambar 2.18 Diagram Venn keadaan ternak peliharaan penduduk Keterangan GambarS= Penduduk Sabulan yang memelihara ternak; A= Himpunan rumah tangga yang hanya memelihara kambing;B= Himpunan rumah tangga yang hanya memelihara ayam;C= Himpunan rumah tangga yang hanya memelihara sapi;D= Himpunan rumah tangga yang memelihara ayam dan kambing;E= Himpunan rumah tangga yang memelihara ayam dan sapi;F= Himpunan rumah tangga yang memelihara kambing dan sapi;G=Himpunan rumah tangga yang memelihara ayam, kambing, dan sapi sekaligus;H=Himpunan rumah tangga yang tidak memelihara ayam, kambing, dan sapi.b) Banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam.Banyak rumah tangga yang memelihara ayam = n(B) + n(D) + n(E) + n(G)60 = n(B) + 15 + 20 + 5n(B) = 60 – 40= 20Maka banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam adalah 20 rumah tangga.Diagram Venn banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam sebagai berikut.
168Kelas VII SMP/MTsSemester 1SKambingSapiAyamc)Banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing.Banyak rumah tangga yang memelihara kambing = n(A) + n(D) + n(F) + n(G)35= n(A) + 15 + 5 + 5n(A)= 35 – 25= 10Maka banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing adalah 10 rumah tangga.Diagram Venn banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing sebagai berikutSKambingSapiAyamd)Banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi.Banyak rumah tangga yang memelihara sapi = n(C) + n(E) + n(F) + n(G)45 = n(C) + 20 + 5 + 5n(C) = 45 – 30 = 15
169MATEMATIKAMaka banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi adalah 15 rumah tangga.Diagram Venn banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi sebagai berikut.SKambingSapiAyame)Banyak rumah tangga yang tidak memelihara ketiga ternak (ayam, kambing, sapi)n(H) = n(S) – n(A) – n(B) – n(C) + n(D) – n(E) – n(F) – n(G)n(H) = 100 – 10 – 20 – 15 – 15 – 20 – 5 – 5 n(H) = 100 – 90 = 10Maka banyak rumah tangga yang tidak memelihara ketiga ternak (ayam, kambing, sapi) adalah 10 rumah tangga.Diagram Venn banyak rumah tangga yang tidak memelihara ketiga ternak (ayam, kambing, sapi) sebagai berikut.SKambingSapiAyam
170Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo KitaMenalar1.Diberikan himpunan A dan B, a.Jika A ∩B = ∅, apakah A – B = A dan B – A = B. b.Jika A ⊂B, apakah A – B = ∅. c.Jika A ⊂B apakah Ac– B = Bc2.Dalam sekelompok siswa setelah dilakukan survey terhadap kegemaran olahraganya diperoleh data sebagai berikut24 siswa gemar bola voli,30 siswa gemar sepak bola,20 siswa gemar bulu tangkis,10 siswa gemar bola voli dan sepak bola,12 siswa gemar bola voli dan bulu tangkis,15 siswa gemar sepak bola dan bulu tangkis,5 siswa gemar ketiganya, serta 3 anak tidak gemar ketiganyaa.Buatlah diagram Venn dari keterangan tersebutb.Berapa banyak siswa dalam kelompok tersebutc.Berapa banyak siswa yang hanya suka bola volid.Berapa banyak siswa yang hanya suka sepak bolae.Berapa banyak siswa yang hanya suka bulu tangkisAyo KitaBerbagiPresentasikan hasil menalar kalian kepada temanmu di depan kelas, jika ada jawaban yang berbeda diskusikan dan mintalah petunjuk dari gurumu.
171MATEMATIKAAyo Kita!?!?Berlatih2.91.Diketahui S = {bilangan asli kurang dari 15}P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Q = {5, 6,7, 8, 9}Tentukan a.Pcb.Qcc.(P∩Q)cd.(P∪Q)c2.Diketahui S = {bilangan cacah kurang dari 11}A = {x | x ∈ P, x < 10, P bilangan prima}B = {5, 7, 9}Tentukan a.Acb.Bcc.(A∩B)cd.(A ∪B)ce.A ∩ (A ∪B)cf.Bc∩ (A ∪B)g.(A ∪B)c∩ (A∪B)ch.(Ac∩B)c∪ (A∪B c)c3.Perhatikan diagram Venn berikut ini S• 25•5• 20• 2• 7• 18• 3ABC
172Kelas VII SMP/MTsSemester 1Berdasarkan diagram Venn tersebut tentukan banyak anggota dari a.Acb.Bcc.Ccd.(A ∩B)ce.(A∪C)cf.(A∩C)c g.Ac∩ (B ∪C)ch.(A ∩B)c∩ (A ∩C)c4.Diketahui A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {e, f, g, h, j}. Tentukan a.A – B b.B – A c.(A – B) ∩Ad.(A – B) ∪ (B – A) 5.Misalkan A = {1, 2, 3, ..., 10} dan B = {3, 5, 7, 9,11, 13}, dan C = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}. Tentukan anggota himpunan dari a.A – B b.B – Ac.B – Cd.C – Ae.(A – B) ∩ (A – C)f.(A – C) ∪ (B – C)g.(A ∪ B) – (B ∪ C)h.(A – B)c∪ (B – C)c
173MATEMATIKA3.5 Sifat-sifat Operasi HimpunanBerbagai sifat operasi himpunan yang perlu kalian ketahui sebagai berikut.a.Sifat IdempotenAyoKita AmatiCoba amati dengan cermat Masalah 2.11 dan alternatif pemecahan berikut ini.Masalah2.11Anto memiliki olahraga kesukaan yaitu: sepak bola, bola voli, dan catur. Misalkan himpunan semua olahraga kesukaan Anto adalah himpunan K.1.Hal apa yang kalian temukan jika himpunan olahraga kesukaan Anto digabung dengan himpunan olahraga kesukaannya sendiri?2.Hal apa yang kalian temukan jika himpunan olahraga kesukaan Anto diiriskan dengan himpunan olahraga kesukaannya sendiri?Alternatif Pemecahan MasalahK = {sepak bola, bola voli, catur} 1.Jika K ∪ KJika K digabung dengan K itu sendiri maka:K ∪ K = {sepak bola, bola voli, catur} ∪ {sepak bola, bola voli, catur}= {sepak bola, bola voli, catur}Ternyata: K ∪ K = K2.Jika K ∩ KJika K diiriskan dengan K itu sendiri maka:K ∩ K = {sepak bola, bola voli, catur} ∩ {sepak bola, bola voli, catur}= {sepak bola, bola voli, catur}Ternyata: K ∩ K = KBerdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa
174Kelas VII SMP/MTsSemester 1Untuk sebarang himpunan A berlaku A ∪ A = AA ∩ A = A Sifat ini disebut dengan sifat idempoten.Ayo KitaMenanya??Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan sifat idempoten tersebut. Ayo KitaMenalar1.Jika A adalah himpunan kosong, apakah berlaku A ∪ A = A? Diskusikan dengan temanmu.2.Jika A adalah himpunan kosong, apakah berlaku A ∩ A = A? Diskusikan dengan temanmu.Ayo KitaBerbagiPresentasikan hasil diskusi dengan temanmu kepada kelompok lain, dan mintalah kelompok lain untuk memberikan tanggapan atas jawabanmu.b.Sifat Identitas AyoKita AmatiCoba amati dengan cermat masalah dan alternatif penyelesaiannya berikut ini.
175MATEMATIKAMasalah2.12Budi dan Badu adalah siswa kelas VII SMP. Budi senang dengan pelajaran matematika, bahasa Indonesia, dan kimia. Sedangkan Badu tidak senang dengan pelajaran apa pun.1.Jika pelajaran yang disenangi Budi dan Badu merupakan himpunan, tentukanlah anggota kedua himpunan itu.2.Jika pelajaran yang disenangi Budi digabung dengan pelajaran yang disenangi Badu, apa yang kalian simpulkan?3.Pelajaran apa yang sama-sama disenangi Budi dan Badu?Alternatif Pemecahan MasalahMisal:A adalah himpunan semua pelajaran yang disenangi Budi.B adalah himpunan semua pelajaran yang disenangi Badu.1.Kedua himpunan tersebut adalahA = {matematika, bahasa Indonesia, kimia}B adalah himpunan pelajaran yang disenangi BaduB = { }2.Himpunan semua pelajaran yang disenangi Budi digabung dengan himpunan semua pelajaran yang disenangi Badu, dilambangkan dengan A ∪ BA ∪ B= {matematika, bahasa Indonesia, kimia} ∪ { }= {matematika, bahasa Indonesia, kimia}ternyata A ∪ B = A3.Himpunan semua pelajaran pelajaran yang sama-sama disenangi Budi dan Badu, dilambangkan dengan A ∩ B.A ∩ B= {matematika, bahasa Indonesia, kimia} ∩ { }= { }Maka pelajaran yang sama-sama disenangi Budi dan Badu adalah tidak ada.Berdasarkan penyelesaian masalah di atas, dapat disimpulkan bahwa Untuk sebarang himpunan A, berlaku:A∪∅ = AA∩∅ = ∅Sifat ini disebut dengan sifat Identitas
176Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo KitaMenanya??Jika ada hal yang kurang kalian pahami tentang sifat identitas, coba tulislah hal belum kalian pahami dan tanyakan kepada guru kalian. Ayo KitaMenalarCoba diskusikan masalah berikut dengan temanmu.Diberikan himpunan P dan Q. Kondisi apa yang harus dipenuhi agar P∪Q = P? Mengapa?Kondisi apa yang harus dipenuhi agar P ∩Q = ∅? Mengapa?Ayo KitaBerbagiCoba tukarkan hasil diskusi kelompokmu dengan kelompok lain. Cocokkan dan diskusikan jawaban kelompokmu dengan kelompok lain dan saling memberikan masukan.c.Sifat KomutatifAyoKita AmatiAmati diagram Venn I dan II berikut iniIIIABS• 5•7• 9•11• 1• 3•p•s•q•rASBGambar 2.19 Diagram Venn I dan II
177MATEMATIKADari diagram Venn I dan II tersebut diperoleh hal berikutDiagram Venn I:Diagram Venn II:A = {1, 3, 5}A = {p, q, r}B= {5, 7, 9, 11}B = {s}A ∪ B= {1, 3, 5, 7, 9, 11}A ∪ B = (p, q, r, s)B ∪ A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}B ∪ A = (p, q, r, s)A ∩ B= {5}A ∩ B = ØB ∩ A= {5}B ∩ A = Øternyata: ternyata:A ∪ B = B ∪ AA ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ AA ∩ B = B ∩ ABerdasarkan diagram Venn I dan II tersebut, maka dapat disimpulkan sebagai berikut Misalkan A dan B adalah himpuan:A ∪B = B ∪A A ∩B = B ∩ASifat ini disebut sifat Komutatif.Ayo KitaMenanya??Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan sifat komutatif irisan dan gabungan. Ayo KitaMenalar1.Apakah jika A adalah himpunan kosong berlaku A ∪ B = B ∪ A? Diskusikan dengan temanmu.2.Apakah jika A adalah himpunan kosong berlaku A ∩ B = B ∩ A ? Diskusikan dengan temanmu.
178Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo KitaBerbagiCoba tukarkan hasil diskusi kelompokmu dengan kelompok lain dan saling memberikan masukan dan koreksi jawabanmu.d.Sifat AsosiatifAyoKita AmatiPerhatikan diagram Venn berikut.PQRS•a•c•b•e•d•g•f• h• i•k• l•m• jGambar 2.10 Diagram Venn IDiperoleh:P= {a, b, c, d, e}(P ∩ Q) ∩R = {e}Q= {d, e, f, g, h, i}P ∩ (Q ∩ R) = {e}R= {c, e, i, j, k, l, m}TernyataP ∪ Q = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}(P ∪ Q) ∪R = P ∪ (Q ∪ R)Q ∪ R = {c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m}(P ∩ Q) ∩R = P ∩ (Q ∩ R)(P ∪ Q) ∪ R= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m}P ∪ (Q ∪ R) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m}
179MATEMATIKA•4•7•9•8•10•1• 3•2PS•11•12R•5•6QGambar 2.22b Diagram Venn IIDiperoleh: P= {1, 2, 3, 4}(P ∩ Q) ∩ R = ØQ= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}P ∩ (Q ∩ R) = ØR= {7, 8, 9, 10, 11, 12}Ternyata:P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}(P ∪ Q) ∪R = P ∪ (Q ∪ R)Q ∪ R = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}(P ∩ Q) ∩R = P ∩ (Q ∩ R)(P ∪ Q) ∪R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}P ∪ (Q ∪ R) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}Berdasarkan Gambar 2.10 dan 2.11Diagram Venn I dan II, dapat disimpulkan sebagai berikut. Untuk sebarang himpunan P, Q, dan R, berlaku:(P∪Q) ∪R = P∪ (Q∪R) (P∩Q) ∩R = P∩ (Q∩R)Sifat ini disebut sifat AsosiatifAyo KitaMenanya??Jika ada hal yang kurang kalian pahami, coba tulislah hal tersebut dan tanyakan pada guru kalian
180Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo KitaMenalar1.Jika P adalah himpunan kosong, apakah berlaku (P∪Q) ∪R = P∪ (Q∪R)? Diskusikan dengan temanmu.2Jika P adalah himpunan kosong, apakah berlaku (P∩Q) ∩R = P∩ (Q∩R)? Diskusikan dengan temanmu. Ayo KitaBerbagiCoba tukarkan hasil diskusi kelompokmu dengan kelompok lain dan saling memberikan masukan dan koreksi jawabanmu.e. Sifat DistributifAyoKita AmatiAmati kembali Gambar 2.10 dan Gambar 2.11. Dari diagram Venn I dan II ditemukan juga:Diagram Venn IDiagram Venn IIP∪ (Q ∩ R) = {a, b, c, d, e, i}P ∪(Q ∩ R) = Ø(P∪ Q) ∩ (P ∪ R) = {a, b, c, d, e, i}(P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) = ØP ∩ (Q ∪ R) = {c, d, e}P ∩ (Q ∪ R) = {4}(P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {c, d, e}(P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {4}Ternyata:Ternyata:P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R)P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R)P ∩ (Q ∪ R)= (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)
181MATEMATIKAAyo KitaMenanya??Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan sifat distributif irisan dan gabungan. Untuk sebarang himpunan P, Q, dan R, berlaku:P∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R)P∩ (Q∪R) = (P ∩Q) ∪ (P∩R)Sifat ini disebut sifat DistributifAyo KitaMenalar1.Apakah (A – B) ∪ (A ∩B) = A?2.Apakah (A ∪ B) ∩Ac = B – A?Ayo KitaBerbagiCoba tukarkan hasil diskusi kelompokmu dengan kelompok lain dan saling memberikan masukan dan koreksi jawabanmu.Ayo Kita!?!?Berlatih2.101.Misal A = {1, 2, 3} dan B = {2, 1, 5}, tentukan hasil dari (A ∪ B) – A.2.Jika H = {2, 4, 5}, K = {1, 4, 7} dan L = {7, 5, 1}, tentukan hasil dari (H – K) ∩L.3.Misalkan himpunan semesta adalah himpunan semua bilangan asli, D = {x | x kelipatan 5} dan E = {x | x kelipatan 10}, tentukan hasil dari D – Ec.
182Kelas VII SMP/MTsSemester 14.Dalam gambar berikut, daerah yang diarsir menunjukkan himpunan apa?ASBC5.Jika E ={x | (x – 1)2 = 0}, F = {x | x2 = 1} dan G = {x | x2 – 3x + 2 = 0}, tentukan hasil dari (E ∩Fc) ∪G.6.Diberikan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7, 8}C = {3, 5, 7, 9}Tentukan a.Ac∪ (B∩C)b.(A∩B) ∩Ccc.(B – C) ∩ A7.Misalkan P = {c, {a, b}, a, d} dan Q = {a, b}, tentukan P ∩Q.8.Jika D = {1, 12,13, 14, ...} dan E = {1, 2, 3, 4, ...}, tentukan E – D.9. Diketahui n(P) = 21, n(Q) = 30, dan n(P ∩ Q) = 10. Carilah nilai n(P ∪ Q)10.Sebuah Puskesmas sedang merawat pasien sebanyak 40 orang, 23 orang menderita penyakit demam berdarah, 11 orang menderita pe-Berapa orang pasien yang tidak menderita kedua penyakit tersebut?nyakit diare, 8 orang menderita penyakit demam berdarah dan diare.
183MATEMATIKA11.Perhatikan grafik di bawah.SABDaerah yang diarsir dibentuk oleh himpunan... (jawaban boleh lebih dari satu)12.Gambar diagram Venn jika diketahui:S = Himpunan bilangan cacah kurang dari 7 A = himpunan bilangan prima kurang dari 7 B = himpunan bilangan asli kurang dari 713.Dalam sebuah kelas terdapat 50 orang anak. Dari jumlah tersebut, 19 orang anak gemar berenang, 21 orang anak gemar bernyanyi, 19 orang anak gemar sepak takraw, 10 orang anak gemar berenang dan bernyanyi, 10 orang anak gemar bernyanyi dan sepak takraw, 7 orang anak gemar bernyanyi dan sepak takraw, 6 orang anak gemar berenang dan sepak takraw, dan 4 orang anak gemar ketiga-tiganya. a)Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas.b)Berapa orang anak yang tidak gemar satupun dari ketiga kegiatan tersebut?14.Sebanyak 20 orang remaja ditanya tentang kesukaan mereka terhadap olahraga futsal dan sepak bola. Hasil survei menunjukkan bahwa 5 orang tidak menyukai keduanya, 3 orang suka kedua-duanya, 7 orang suka futsal, dan 11 orang suka sepak bola. Berapa orang yang hanya menyukai tepat satu dari keduanya?15.Dalam tes penerimaan CPNS pada tahun 2012 yang lalu, seseorang dinyatakan diterima apabila lulus tes karakater pribadi, tes potensi akademik, dan tes wawasan kebangsaan sekaligus. Untuk mengisi formasi guru Matematika, terdapat 100 orang peserta yang ikut tes. Pada saat pengumuman hasil tes, 20 orang hanya lulus tes karakter pribadi, 8 orang hanya lulus tes potensi akademik, 5 orang hanya lulus tes wawasan kebangsaan, 10 orang lulus tes karakter pribadi dan tes potensi akademik, 7 orang lulus tes potensi akademik dan tes wawasan kebangsaan, 30 orang lulus tes karakter pribadi dan tes wawasan kebangsaan. Berapa orang yang diterima menjadi guru Matematika?
184Kelas VII SMP/MTsSemester 11.Bersama temanmu perhatikan kegiatan-kegiatan di sekolahmu. Jelaskan bagaimana operasi himpunan dipergunakan dalam menjalankan kegiatan-kegiatan sekolah tersebut. Laporkan hasil pengamatanmu lengkap dengan model himpunan yang kalian buat dan paparkan di kelas.2.Berdasarkan langkah-langkah yang dipakai dalam operasi himpunan. Algoritma mana yang menurutmu lebih panjang/ lama pengerjaannya bila diterapkan pada himpunan yang sama? Jelaskan pendapatmu, laporkan hasilnya dan paparkan.3.Buatlah sebuah Poster yang memuat penjelasan tentang hubungan yang terjadi antara himpunan A dan himpunan B jika diketahui bahwa:a.A ∪ B = Ae.A ∩ B = Bb.A ∪ B = Bf.A ∩ B = Øc.A ∪ B = Øg.A − B = Ad.A ∩ B = Ah.A − B = ØKalian boleh mengerjakan secara berkelompok. Untuk itu, kalian boleh menggali informasi dari sumber belajar apa pun (buku teks yang lain, internet atau bertanya kepada guru). Ayo KitaMengerjakanTugas Projek2Pengalaman belajar tentang himpunan telah kalian lalui. Sekarang, cobalah tuliskan hal-hal penting yang menurut kalian sangat berharga dan kira-kira akan bermanfaat bagi kalian untuk belajar lebih jauh dengan menjawab pertanyaan berikut:1.Apa yang kalian ketahui tentang himpunan, himpunan semesta, dan anggota himpunan?2.Himpunan dapat disajikan dengan berapa cara? Sebutkan dan jelaskan.3.Ada berapa macam bentuk diagram Venn? Jelaskan.4.Jelaskan apa yang kalian ketahui tentang himpunan kosong dan relasi himpunan.5.Apa yang dimaksud dengan irisan, gabungan, selisih dan komplemen? Jelaskan.Ayo KitaMerangkum2
185MATEMATIKAUjiKompetensi+=+??2A. Soal Pilihan Ganda1.Di antara kumpulan berikut yang termasuk himpunan adalaha.Kumpulan gunung yang tinggib.Kumpulan bunga yang baunya harumc.Kumpulan hewan berkaki empatd.Kumpulan siswa yang pandai2.Kumpulan-kumpulan berikut ini yang bukan himpunan adalah . . .a.Kumpulan siswa yang tingginya kurang dari 150 cmb.Kumpulan bilangan cacah antara 2 dan 10c.Kumpulan siswa yang berbadan kurusd.Kumpulan bilangan asli kurang dari 103.Himpunan A = {1, 3, 5, 7, 9}, bila himpunan A dinyatakan dengan menyebutkan sifat keanggotaanya adalaha.A = {himpunan bilangan antara 0 sampai 10}b.A = {himpunan bilangan ganjil antara 1 sampai 9}c.A = {himpunan bilangan prima antara 0 sampai 10}d.A = {himpunan bilangan ganjil antara 0 sampai 10}4.Himpunan semesta untuk himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5 }, B = { x | x ≤ 2, x ∈Bilangan Bulat}, dan C = {bilangan Asli kelipatan 3 yang kurang dari 30} adalah a.Himpunan bilangan Aslib.Himpunan bilangan Cacahc.Himpunan bilangan Bulatd.Himpunan bilangan Cacah yang kurang dari 30
186Kelas VII SMP/MTsSemester 15.Banyaknya himpunan bagian dari K = {a, b, c, d, e} yang mempunyai dua anggota adalaha.4 himpunan b.8 himpunanc.12 himpunand.16 himpunan6.Diberikan diagram Venn yang menyatakan himpunan A dan B, maka A – B adalah a.{a, b}b.{b, c}c.{e, f}d.{g, h}7Jika P = {bilangan prima kurang dari 12} dan Q = {bilangan asli kurang dari 12}, pernyataan berikut yang benar adalah . . .a.9 ∉ P dan P⊄ Q b.5 ∉ P dan P⊂ Qc.9 ∈ P dan P⊄ Q d.5 ∈ P dan P⊂ Q8.Dari himpunan berikut yang merupakan himpunan kosong adalah. . .a.Himpunan bilangan prima genapb.Himpunan nama-nama hari yang diawali dengan huruf Pc.Himpunan binatang berkaki 4d.Himpunan bulan yang diawali dengan huruf N9.Himpunan semesta dari himpunan A = {0, 4, 8, 12, 16} adalah . . .a.Himpunan bilangan asli b.Himpunan bilangan ganjilc.Himpunan bilangan cacahd.Himpunan bilangan primaS• aAB• c• d• e• f• g• h
187MATEMATIKA10.Himpunan P = { x | 2 ≤ x ≤ 8, x ∈ Bilangan Asli}, jika dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya adalah . . . a.{3, 4, 5, 6, 7}b.{3, 4, 5, 6, 7, 8}c.{2, 3, 4, 5, 6, 7}d.{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}11. Diketahui A = { x | 5 ≤ x ≤ 8, x ∈ bilangan Asli}. Banyaknya himpunan bagian dari A yang terdiri dari 3 anggota adalah . . .a.1b.2c.3d.412.Diketahui A = { x | 0 ≤ x ≤ 3, x∈ Bilangan Cacah} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Irisan A dan B adalah a.{1, 2}b.{0, 1, 2}c.{1, 2, 3}d.{0, 1, 2, 3, 4}13.Diberikan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, dan B = {4, 5, 6, 7, 8}. Anggota dari Ac∪B adalah a.{6, 7, 8, 9}b.{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}c.{1, 2, 3, 4, 5}d.{1, 2, 3, 4, 5, 6}14.Banyaknya himpunan bagian dari Y ={bilangan prima lebih dari 6 dan kurang dari 20} adalah a.8b.16c.32d.64
188Kelas VII SMP/MTsSemester 115.Diketahui S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A={1, 2, 3}, dan B = {3, 4, 5, 6}. Anggota dari (A – B) ∩ B adalah a.{ }b.{3}c.{1, 2}d.{1, 2, 3}16.Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4}, B = {bilangan prima kurang dari 6}, dan C = { x | 2 ≤ x ≤ 7 x∈ bilangan Asli}. Anggota dari (A∪ B) ∩ C adalah a.{1, 2, 3, 4, 5}b.{2, 3, 4, 5}c.{1, 2, 3, 4}d.{3, 4, 5}17.Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa. Di antaranya, ada 20 siswa senang pelajaran Matematika, 15 orang siswa senang pelajaran Fisika, dan 10 orang siswa senang keduanya. Banyaknya siswa yang tidak senang keduanya adalaha.3b.4c.5d.618.Suatu kelas yang berjumlah 25 siswa, terdapat 20 orang siswa yang senang sepak bola, 15 orang siswa senang bulu tangkis, dan 3 orang siswa tidak senang keduanya. Banyaknya siswa yang senang kedua-ya adalah a.3b.5c.8d.10n
189MATEMATIKA19.Dalam suatu kelas terdapat 20 orang siswa senang minum susu, 15 orang siswa senang minum teh, 5 siswa senang minum keduanya, dan 3 orang siswa tidak senang keduanya. Banyaknya siswa dalam kelas tersebut adalaha.30b.31c.32d.3320.Dalam remaja Karang Taruna di setelah dilakukan survey terhadap kegemaran olahraganya diperoleh data sebagai berikut, 20 siswa ge-mar bola voli, 25 siswa gemar sepak bola, 23 siswa gemar bulu tanvoli dan bulu tangkis, 12 siswa gemar sepak bola dan bulu tangkis, 4 siswa gemar ketiganya, serta 2 anak tidak gemar ketiganya. Banyak-ya remaja di Karang Taruna tersebut adalah a.40b.42c.44d.4621.Sebuah lembaga penelitian, meneliti makanan ringan yang dikon-sumsi anak-anak. Dari hasil penelitian, tercatat 18 merek mengandung zat pewarna sintetik, 24 merek mengandung penyedap rasa buatan, dan 10 merek mengandung kedua zat tersebut. Jika ada 9 merek tidak mengandung zat pewarna sintetik maupun penyedap rasa buatan, ba-yaknya merek makanan ringan yang diteliti oleh lembaga penelitian tersebut adalah a.40b.41c.42d.43kis, 8 siswa gemar bola voli dan sepak bola, 10 siswa gemar bola g-nn
190Kelas VII SMP/MTsSemester 1B. Soal Uraian1.Tentukan semua himpunan semesta yang dari A = {1, 2, 3, 5}2.Tulislah semua himpunan bagian dari A = {x │ 5 < x < 10, x bilangan asli}3.Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5}, dan B = {4, 5, 6} Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan: a. (A ∩B)c b. (A∪B)c4.Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {x │ 2 < x < 7, x bilangan asli}, dan B = {4, 5, 6} Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut 5.Diketahui A = {x │ x > 5, x bilangan asli}, B = {x │ 3 < x < 8, x bilangan asli}, dan C = {x │ 5 < x < 10, x bilangan asli}. Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan:a. (A∩B) ∪ (B ∩C) b. (A∪C) ∩ (A∪B) 6.Jika E ={x | (x – 1)2 = 0}, F = {x | x2 = 1}, dan G = {x | x2 – 3x + 2 = 0}. Tentukan hasil dari (E ∩Fc) ∪G.7.Diketahui A = {x │ x > 5, x bilangan asli}, B = {x │ 3 < x < 8, x bilangan asli}, dan C = {x │ 5 < x < 10, x bilangan asli}. Gambarlah diagram Venn-nya8.Di antara sekelompok siswa yang terdiri atas 30 orang ternyata 18 orang suka menyanyi, 20 orang suka menari dan 10 orang suka melakukan keduanya.a. Gambarlah diagram Venn untuk menggambarkan keadaan di atas b. Berapa banyak siswa yang tidak suka menari dan tidak suka menyanyi?c. Berapa banyak siswa yang hanya suka menyanyi?d. Berapa banyak siswa yang hanya suka menari?
191MATEMATIKA9.Di antara sekelompok warga yang terdiri atas 45 orang yang sedang berbelanja ke pasar ternyata 20 orang membeli buah apel, 25 orang membeli buah mangga, dan 5 orang membeli kedua macam buah tersebut.a.Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas.b. Berapa banyak warga yang membeli buah apel atau buah mangga?c. Berapa banyak warga yang hanya membeli buah apel?d. Berapa banyak warga yang membeli salah satu dari kedua macam buah tersebut?e. Berapa banyak warga yang tidak membeli kedua macam buah tersebut.10.Di antara 80 orang siswa di suatu SMP didapatkan data sebagai berikut: 45 siswa menyenangi pelajaran Matematika, 40 siswa menyenangi pelajaran Bahasa Inggris, 30 siswa menyenangi pelajaran IPA, 18 siswa menyenangi pelajaran Matematika dan Bahasa Inggris, 15 siswa menyenangi pelajaran Matematika dan IPA, 12 siswa menyenangi pelajaran IPA dan Bahasa Inggris, 4 orang menyenangi ketiga pelajaran tersebut (Matematika, IPA, Bahasa Inggris). Berdasarkan keterangan tersebut,a. Gambarkan diagram Venn yang menggambarkan keadaan tersebut!b. Hitunglah banyak siswa yang:1) menyenangi Matematika saja.2) hanya menyenangi Bahasa Inggris.3) hanya menyenangi IPA.4) menyenangi Matematika tetapi tidak menyenangi IPA.5) menyenangi Matematika tetapi tidak menyenangi Bahasa Inggris.6) menyenangi IPA tetapi tidak menyenangi Matematika7) menyenangi IPA tetapi tidak menyenangi Bahasa Inggris.8) menyenangi Bahasa Inggris tetapi tidak menyenangi Matematika.9) menyenangi Bahasa Inggris tetapi tidak menyenangi IPA.10) tidak menyenangi ketiganya.11.Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar anggota-anggotanya dan dengan notasi pembentuk himpunan.
192Kelas VII SMP/MTsSemester 1a.A adalah himpunan bilangan bulat antara –4 dan 3.b.B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 30 dan habis dibagi 3.c.C adalah himpunan bilangan prima kurang dari 40.d.D adalah himpunan 10 bilangan cacah yang pertama.12.Diketahui:K = Himpunan kuadrat bilangan asli kurang dari 50.L = Himpunan bilangan kelipatan 4 kurang dari 50M = Himpunan bilangan kelipatan 5 kurang dari 50.a.Nyatakan himpunan tersebut dengan mendaftar anggotanyab.Tentukan K ∩ L, K ∩ M, dan L ∩ Mc.Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soal b tersebut.13.Setelah dilakukan pencatatan terhadap 45 orang warga di suatu kampung, diperoleh hasil sebagai berikut. 19 orang suka minum teh, 21 orang suka minum kopi, 16 orang suka minum susu, 10 orang suka minum teh dan kopi, 9 orang suka minum teh dan susu, 7 orang suka minum kopi dan susu, 3 orang suka minum ketiga-tiganya.a.Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas.b.Tentukan banyaknya warga yang tidak suka minum ketiga-tiganya.14.Suatu kelas terdiri 38 anak, terdapat 15 anak mengikuti kegiatan ekstra kurikuler kesenian, 18 anak mengikuti kegiatan ekstra olahraga, 16 anak mengikuti ekstra pramuka, 8 anak mengikuti kegiatan ekstra kesenian dan pramuka, 5 anak mengikuti kegiatan ekstra kesenian dan olahraga, 5 anak mengikuti ekstra olahraga dan pramuka dan 2 anak mengikuti ketiga kegiatan tersebut. Dengan memisalkan kesenian = K, olahraga = O dan pramuka = P, tentukanlah:a.Gambar diagram Vennnyab.Banyak siswa yang ikut kegiatan ekstra.c.Banyaknya siswa yang tidak ikut kegiatan ekstra tiganya.15.Dari 40 siswa, 18 siswa menyukai atletik, 15 siswa menyukai senam dan 6 siswa menyukai kedua-duanya.a.Tunjukkan pernyataan di atas dengan diagram Vennb.Tentukan banyaknya siswa yang tidak menyukai atletik maupun senam